李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625)

第2章复习与思考题1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质答：形如01()niniiiikxxlxxx的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。主要性质有1）,0,()1,nkkiklxik2）()1nlx2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1,x,x,...,x}n有何不同答：牛顿差值基函数为00101{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}n牛顿差值基函数中带有常数项01,,...nxxx，这有单项式基不同。3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质答：形如01n2n01n2n-101n1[,,...,,][,,...,,][,,...]nnfxxxxfxxxxfxxxxx称为()fx的k阶均差具有以下的基本性质1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）K阶均差可以表示为函数值0()fx，1()fx，…n()fx的线性组合，即kj01kj0j0jj-1jj+1j()[,,...]-kfxfxxxxxxxxxxx（）...()()...()2）由性质1和k阶均差的性质0101k-1010[,,...,][,,...,][,,...]kkkfxxxfxxxfxxxxx（分子前项多xk）3）若(x)f在[a,b]上存在n阶导数，且节点01n2n,,...,,[a,b]xxxx，则n阶均差与导数的关系为101()[,,...]!nnffxxxn4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同答：n+1个点的拉格朗日插值多项式000()()nnninkkkkkiikikxxLxylxyxx，(j1,2,....,n)n+1个点的牛顿插值多项式01[,,...,]kkafxxx,(k1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组Axy，其中系数矩阵A与使用的基函数有关。y包含的是要满足函数值01(,,...)Tnyyy，用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A中非零元素的分布。1）单项式基底2）拉格朗日基底3）牛顿基底答：1）单项式基底为2{1,x,x,...,x}n，已知数为012{,,,...,}nxxxx则未知数为012{,,,...,}naaaa，则系数矩阵为120001211112222121...1...1..................1...nnnnnnnxxxxxxAxxxxxx，无非零元素。2）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}nlxlxlx，已知数为012{,,,...,}nyyyy未知数为01{(),(),...,()}nlxlxlx，则系数矩阵为未找到相关资料。3）牛顿基底为00101{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}n，已知数为012{,,,...,}nxxxx，未知数为012{,,,...,}naaaa，则系数矩阵为1020202110010100...010...01()()...0...............1()()...()nnnnnjjxxxxxxxxAxxxxxxxx，为下三角矩阵，矩阵的上三角元素为0。6、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至高给出排序答：按照计算工作量，排序如下：牛顿插值、拉格朗日插值、多项式插值7、给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差答：拉格朗日插值多项式余项11()()()()()(n1)!nnnnfRffxLxx，进行误差估计时，对1()nf进行适当缩放即可。牛顿插值多项式余项011()()()[,,...,]()nnnnRffxPxfxxxx，可以直接求出。8、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值公式？答:埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数值相等，甚至高阶导数值相等。泰勒公式20000000()()()()()()()...()2!!nnnfxfxPxfxfxxxxxxxn就是牛顿插值公式具有n重根0()xx时的特殊形式，即0()xx的极限形式。也是n阶导数值相等的埃尔米特插值公式。9、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：根据龙格（Ronge）发现的现象，发现高次多项式插值()nLx近似()fx的效果并不好。产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。10、三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。答：三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数连续。三次样条插值要求给出各节点的函数值和区间的边界值，具有二阶导数连续。从上可以看出，三次样条插值更优越，对节点的要求较低，具有二阶导数连续（插值函数更光滑）。11、判断下列命题是否正确？（1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。（2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。（3）li(x)(i=0,1,„,n)是关于节点xi(i=0,1,„,n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n的多项式P(x)都有0()()()niiilxPxPx。（4）当f(x)为连续函数，节点xi(i=0,1,„,n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln(x)，则n越大Ln(x)越接近f(x).（5）同上题，若构造三次样条插值函数Sn(x)，则n越大得到的三次样条函数Sn(x)越接近f(x).（6）高次拉格朗日插值是很常用的。（7）函数f(x)的牛顿插值多项式Pn(x)，如果f(x)的各阶导数均存在，则当xix0(i=1,2,„,n)时，Pn(x)就是f(x)在x0点的泰勒多项式。答：1）错，因为插值函数唯一2）对3）对，因为余项等于04）错，典型的例子是龙格现象5）对，n越大，说明步长0h，此时S（X），S’(X)和S’’（X）均一致收敛于f（X），f’(X)和f’’（X）。6）错。典型的例子是龙格现象7）对。习题1、当1,1,2x时，()0,3,4fx，求)(xf的二次插值多项式。1）用单项式基底2）用拉格朗日插值基底3）用牛顿插值基底解：1）用单项式基底，设2210axaxay，则范德蒙系数矩阵120012111222111111111124xxAxxxx行列式化简有11101110|y1113020312440134111011100134013402030065A解得0127/31.55/6aaa所以251.57/36xxy2）使用拉格朗日插值计算02011201201021012202122()()()()()()()()()()()()()(1)(2)(1)(2)(1)(1)0(3)4(11)(1)(2)(3)(1)(3)(1)(2)4(1)(1)023324(2nxxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22221)33968(1)66537623571.563xxxxxxxy3）使用牛顿插值计算2001001201()()[,]()[,,]()()Pxfxfxxxxfxxxxxxx均差表kx()kfx一阶均差二阶均差1001[,]fxx=3/2012[,,]fxxx=5/6-1-312[,]fxx=7/324所以2225()01.5(1)(1)(1)65=1.5(1)(1)6571.563Pxxxxxxxx从三种插值方法得出的插值函数一致，得证。2、给出()lnfxx的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln的近似值。X0.40.50.60.70.8xln-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144解：由于未限制插值函数的类型，可以使用单项式插值、拉格朗日插值和牛顿插值。计算方法同题1.本题线性插值选用拉格朗日插值方法。选择接近0.54值的两个插值节点x0=0.5和x1=0.6,则y0=0.693147,y1=0.51082601010110()()()()()(0.6)(0.5)(0.693147)(0.510826)0.10.11.82321-1.604752nxxxxLxyyxxxxxxx从而(0.54)1.823210.54-1.604752=-0.620278nL本题二次插值选用牛顿插值方法选择接近0.54值的三个插值节点x0=0.4,x1=0.5和x2=0.6,则y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826则有均差表kx()kfx一阶均差二阶均差0.4-0.91629101[,]fxx=2.23144012[,,]fxxx=-2.041150.5-0.69314712[,]fxx=1.823210.6-0.51082622()(0.4)(0.4)(0.5)2.041154.0444452.217090.9162912.231442.047115Pxxxxxx2(0.54)-0.61531984P3、给出cosx,090x的函数表，步长1(1/60)h，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：拉格朗日插值余项表达式为11()()()()()(n1)!nnnnfRffxLxx线性插值时n=1，总误差界1()cos1|()||()||()|(n1)!22nfxxx由于步长取1(1/60)h，换算成弧度有41(/10800)=2.908910h所以4()=0.510x因此，总误差界14()cos1|()||()||()|=0.2510(n1)!22nfxxx此题解法错误，原因是①使用的方法错误②理解题意错误，“函数具有5位有效数字”，表示5001102yy正确解法如下：总误差=函数本身的误差（5位有效数字产生的误差）+使用插值方法带来的误差。设插值节点为010xxxxh，对应的xcos值为10,yy，函数表值为10,yy，则由题意可知，5001102yy，5111102yy，近似线性插值多项式为011010110()xxxxLxyyxxxx，所以总误差为1111()()()()()()()RxfxLxfxLxLxLx1112010100110110010100110110()|()()()()|()=|()()(()())|2cos()|()()||()||||()|||2RxfxLxLxLxxxxxfxxxxyyyyxxxxxxxxxxxxyyyyxxxx所以01010011011055010101101()cos()()2111()()1010222xxxxRxxxxxyyyyxxxxxxxxxxxxxxxx其中①01()()xxxx的最值求解如下：令01()()()fxxxxx则当1001()()()2()0fxxxxxxxx时，即100()/22hxxxx201()()()4hfxxxxx取最大值。③利用基函数之和等于1的性质5501011055010101111010221110()1022xxxxxxxxxxxxxxxx④22711()=/1080060180/466560000=0.21154104hh所以25755111()100.1057710100.5010577102422hRx总误差限5()0.501057710Rx本题的关键在于，三角函数的变量是弧度，因此角度必须使用弧度来计算。有一种解法（我认为不对），将角度未换算成弧度，计算结果为255511111()10103.47102422144002hRx4、设(0,1,,)jxjn为互异节点，求证：1）0()(0,1,,)nkkjjjxlxxkn；2）0()()0(1,2,,)nkjjjxxlxkn；1）证：当()kfxx时，利用拉格朗日插值余项公式有111()0()()()()()0(n1)!(n1)!nnnnnfRffx