李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

第4章复习与思考题习题1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。答：用两端点的算术平均值作为()f的近似值，这样导出的求积公式()d[()()]2aabafxxfafb，就是梯形求积公式。而如果改用区间中点2bac近似取代()f，则导出中矩形公式()d()()2aaabfxxbaf几何意义的图形，略。2、什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？答：如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度梯形公式和中矩形公式的代数精度为1.3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。未找到明确的资料.答：插值型求积公式和…..4、什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？答：设积分区间[a,b]划分为n等份，步长h=（b-a）/n,选取等距节点kxakh构造出的插值型求积公式0()()nknnkkIbaCfx成为牛顿-柯特斯求积公式，式中knC称为柯特斯系数。其节点是等距分布的，代数精度为节点数n-1次。5、什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？当n=2时，牛顿-柯特斯求积公式即为辛普森求积公式，其余项为4(4)()()()1802babaRff其，代数精度为3.6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。答：为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上使用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。复合梯形公式为111012()()[(a)()()]22()(),[a,b]32nnkkkkknnhhTnfxfxffxfbbahRfITf7、给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？复合辛普森公式为111/2014(4)[(a)4()2()()]6()(),[,b]1802nnkkkknnhSnffxfxfbbahRfISfa8、什么是龙贝格求积？它有什么优点？龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。使用理查森外推算法,它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。龙贝格算法公式()(1)()1141,1,2,3...4141mkkkmmmmmTTTk9、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？答：如果求积公式0()()d()annkkkafxxxAfx具有2n-1（n为秋季节点数）次代数精度，则称其节点kx为高斯点，求积公式为高斯型求积公式。可以使用证明的方法求证，插值公式的代数精度不超过2n-1。即回到了最后一个问题。根据老师的讲课，给出证明的方法。10、牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？为什么？牛顿-柯特斯求积节点等距分布高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。对同样数目的节点，高斯求积更精确。11、描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？答：如果求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，需要使用小不长，另一部分函数值变化平缓，可以使用大步长，针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分基本原则：累次积分。多重积分的辛普森公式：1101/201(,)[(,)4(,)2(,)(,)]6bdacMMbbbbiiMaaaaiifxydydxkfxydxfxydxfxydxfxydx对每一个积分再次利用辛普森公式111/201[()4()2()()](6)nnkkkakbhfafxffxfbxdx13、对给定函数，给出两种近似求导的方法。若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理这个问题？14、判断如下命题是否正确：（1）如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。（2）数值求积公式计算总是稳定的。（3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。（4）n+1个点的插值型求积公式的代数精确度至少是n次，最多可达到2n+1次。（5）高斯求积公式只能计算区间[-1,1]上的积分。（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。（7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。（8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。（9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。（10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。1）正确2）错误3）错误，是衡量计算准确度的一个指标4）正确5）错误，可以通过变化使得计算时区间在[-1,1]上。6）错误，典型的例子是，当n为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为n+1阶代数精度。7）错误。梯形公式，代数精度为1，两点高斯公式代数精度为38）正确9）错误。龙贝格精度为2n，牛顿-柯特斯精度最大为n+110）错误。习题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。1）)()0()()(101hfAfAhfAdxxfhh；2）)()0()()(10122hfAfAhfAdxxfhh；3）3/)](3)(2)1([)(2111xfxffdxxf；4）)]()0([2/)]()0([)(20hffahhffhdxxfh。1）)()0()()(101hfAfAhfAdxxfhh由于需要确定3个未知量，因此，需要给定3个方程。设2()1,,fxxx，有10111322112023hAAAhAhAhhAhA解出1011012134313hAAAAhAhAh令3()fxx，有333443411()00033333hhhhhhhhhxdx令4()fxx，有44454554212()00333355hhhhhhhhhhxdxxh因此，具有3次代数精度。2）)()0()()(10122hfAfAhfAdxxfhh由于需要确定3个未知量，因此，需要给定3个方程。设2()1,,fxxx，有101113221140163hAAAhAhAhhAhA解出1011014834383hAAAAhAhAh令3()fxx，有33344384888()00033333hhhhhhhhhxdx令4()fxx，有24445455284816164()00333355hhhhhhhhhhxdxxh因此，具有3次代数精度。3）1121()[(1)2()3()]/3fxdxffxfx需要确定2个待定参数，因此，令设2()1,,fxxx，有1222122[123]/30[123]/32[123]/33xxxx解出0.68990.28990.68990.51212266xxxx令3()fxx，有1143113310()4[(1)2(-0.6899)3(0.2899)]/3[12-0.689930.2899]/3-0.52788xxdxfxdxfff因此，具有2次代数精度。4))]()0([2/)]()0([)(20hffahhffhdxxfh需要确定2个待定参数，因此，令设2()1,,fxxx，有223330022/223hhhhhhah解出112a，h为任意常数令3()fxx，有434440011()/2444hhhxdxfxdxhhh令4()fxx，有545550011()/2536hhhxdxfxdxhhh所以代数精度为3.2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：(1)120,84xdxnx(2)91,4xdxn(3)/6204sin,6dn(1)120,84xdxnx梯形公式11[()2()()]2nnkkhTfafxfb8n,所以,0,1,2,3,4,5,6,7,88kkxk01234567800.03110.06150.09060.11760.1423()()()()()()().16440(0.18360)().200fxfxfxfxfxfxfxfxfx所以有181[(0)2()(1)]20.1114nkkhTffxf辛普森公式1111/2001[()4()2()()]6nnnnkkkkkhSfafxfxfb4n,所以,0,1,2,3,44kkxk1/21,0,1,2,384kkxk所以11141/2001[(0)4()2()(1)]60.11157nnnkkkkkhSffxfxf(2)91,4xdxn梯形公式11[()2()()]2nnkkhTfafxfb4n,所以12,0,1,2,3,4kxkk1.00001.73212.23612.64583.000],0,1..0.()[4kkfx141[()2()()]217.2278nkkhTfafxfb辛普森公式1111/2001[()4()2()()]6nnnnkkkkkhSfafxfxfb2n,所以14,0,1,2,kxkk1/234,0,1kxkk所以11121/2001[()4()2()()]617.3321nnnkkkkkhSfafxfxfb(3)/6204sin,6dn梯形公式11[()2()()]2nnkkhTfafxfb6n,所以,0,1,2,3,4,5,636kxkk2.00001.99811.99241.98321.97051.95481.9],()[0,1...3566kkfx161[()2()()]21.0356nkkhTfafxfb辛普森公式1111/2001[()4()2()()]6nnnnkkkkkhSfafxfxfb3n,所以,0,1,2,318kxkk1/2,0,1,23618kxkk所以11131/2001[()4()2()()]61.3577nnnkkkkkhSfafxfxfb3、直接验证柯特斯公式（2.4）具有5次代数精度。验证以下公式在5()fxx时，等式成立，在6()fxx时，等式不成立01234()[7()32()12()32()7()]90babafxdxfxfxfxfxfx验证过程同题1。2345()1,,,,,fxxxxxx时，（以5()fxx为例）