第十章-力法

第十章力法1概述2力法的基本概念3超静定刚架和排架4超静定桁架、组合结构5对称结构的计算6支座移动、温度变化的计算7超静定结构位移的计算8超静定结构计算的校核主要内容§10-1超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构静力特征：几何特征：要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。一个结构有多少个多余约束呢？1）超静定结构拱组合结构——由于有多余约束，其反力、内力不能由静力平衡条件全部确定的结构。——几何不变，有多余约束。2）特征3）超静定结构的类型桁架超静定梁刚架二、超静定次数一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。P1X1XPQA1X1X2X2X1次超静定2次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。P1X1X2X2X3X3X3次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束P1次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束1X1X注意事项（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。举例：X1X2X1X2X1X3X2X1X2X4X3X1X2X1X2X3X1X2X3每个无铰封闭框超三次静定超静定次数3×封闭框数=3×5=15超静定次数3×封闭框数－单铰数目=3×5－5=10（4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数①组合结构：n—超静定次数；m—刚片数；h—单铰数；r—支座链杆数。例：确定图示结构超静定次数。此链杆不能去掉此两链杆任一根都不能去掉该结构为一次超静定结构23nhrm23253341nhrm②桁架结构：n—超静定次数；j—结点数；b—杆件数；r—支座链杆数。例：确定图示桁架超静定次数。该结构为二次超静定结构。③框架结构：n—超静定次数；f—封闭框格数；h—单铰个数。例：确定图示结构的超静定次数。该结构为3次超静定结构该结构为11次超静定结构2111112nbrj2(133)272nbrj3nfhq一、解题思路——将超静定问题转化为静定问题求解（1）确定超静定次数——具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。（2）取基本体系——去掉多余约束（链杆B），代之以多余未知力X1。ABl原结构例：图示单跨超静定梁X1—称为力法的基本未知量。二、步骤X1q基本体系AB§10-2力法的基本原理和方程（3）求基本未知量X1=ABX1=+①建立变形协调方程Δ11：由多余未知力X1单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移Δ1P：由荷载q单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移由迭加原理，上式写成：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0——变形协调方程。基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即：Δ1＝0qABlqqAB111PABX1=BBX1=+由于X1是未知的，△11无法求出，为此令：△11=δ11×X1δ11——表示X1为单位力时，在B处沿X1方向产生的位移。式：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0可改写成：δ11X1＋Δ1P＝0式中δ11、Δ1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。一次超静定结构的力法方程1×X1AA1PqBlqqX1ABA11δ11X1②求系数δ11、自由项Δ1P由图乘法，得：112113324pPMMdsEIqLLLEI48qlEIδ11Δ1P——均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。ABlM1图作、图，MMP22qlMP图lAB1111MMdsEI2312233lllEIEI③将δ11、Δ1P代入力法方程，求得X1由上式，得：11pMMXM④按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图其中：（与所设方向一致）δ11X1＋Δ1P＝038ql431111/83pqllXEIEI——迭加原理绘制ABlqM图28ql三、力法概念小结解题过程（1）判定超静定次数，确定基本未知量；（2）取基本体系；（3）建立变形协调方程（力法方程）；（4）求力法方程系数、自由项（作Mp、M图）；（5）解力法方程，求基本未知量（X）；（6）由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。1EIqq1XP11X11q（1）平衡条件（a）（b）（c）（d）如图（b）当取任何值都满足平衡条件。1X（2）变形条件011p101111Xp力法基本未知量、基本体系、基本方程。=2ql21X11X11P1q（b）（c）EIq1X（a）l2、力法基本体系－悬臂梁(静定结构）1、力法基本未知量－1X3、力法基本方程－（变形协调）0111p1X11111111X0XP11114、系数与自由项11P1,PMl1MEI8qldxEIMM4P1P1EI3ldxEIMM311115、解方程0EI8qlXEI3l413ql83X1EIq1Xlql83X16、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）（1）8ql3EIql8ql216ql2M2ql21X1PM1Ml（2）P11MXMM1X8ql32基本体系有多种选择；1EIq（a）q1X（b）1Xq0XP1111qp11X111Xqq1X1Xp1)111X（c）力法的特点（1）以多余未知力作为基本未知量，并根据基本结构与原结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；（2）力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的。因此，就是把超静定结构的计算问题，转化成了前面已学习过的静定问题；（3）基本体系与原结构在受力、变形和位移方面完全相同，二者是等价的。（4）基本体系的选取不是唯一的。111112212211222200ppXXXX（3）根据变形条件，建立力法方程——二次超静定结构的力法方程BAqC基本体系X2X1LLqABC原结构四、力法的典型方程——多次超静定结构讨论解：（1）超静定次数：2次（2）选择支座B的约束为多余约束，取基本体系如图所示。例：图示一超静定结构。δ11、δ12、Δ1P——、和荷载分别单独作用于基本体系时，B点沿X1方向产生的位移；X1＝1X2＝1δ11δ21δ12δ21Δ1PΔ2Pδ21、δ22、Δ2P——、和荷载分别单独作用于基本结构时，B点沿X2方向产生的位移；X1＝1X2＝1荷载作用X2＝1作用X2＝1X1＝1作用X1＝1ACBqCBACBA111112212211222200ppXXXX（4）求系数、自由项1111cyMMdsEIEI121221cyMMdsEIEI2222cyMMdsEIEI11pcpMMydsEIEI22pcpMMydsEIEI——上述各系数和自由项均可由上式积分或通过、、图的图乘求得。MPM2M1（5）解力法方程，求基本未知量：X1、X2。推广至n次超静定结构（1）力法方程——力法典型方程111122111211222222112211220000iinnpiinnpiiiiiinnipnnniinnnnpXXXXXXXXXXXXXXXX注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。（2）系数（柔度系数）、自由项主系数δii(i＝1,2,…n)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；Xi＝1副系数δij(i≠j)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：δij=δjiXj＝1自由项ΔiP——荷载FP单独作用于基本体系时，所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。（3）典型方程的矩阵表示1111110pnnnnnnpΔδδXδδXΔ（4）最后弯矩(叠加法）1212nnMXMXMXMn次超静定结构0X...............XX....................................................................0X...............XX0X...............XXnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn12121111）ij,iP的物理意义；2）由位移互等定理jiij；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.....................................................................对称方阵系数行列式之值0主系数0ii副系数000ij5)最后内力Pnn2211MXM.............XMXMMij位移的地点产生位移的原因五、多次超静定结构PP1X2X（1）基本体系悬臂刚架（2）基本未知力21X,XPP1P21X11121（3）基本方程00210022221211212111PPXXXX1X22212（4）系数与自由项（5）解力法方程21XX（6）内力P2211MXMXMMPP2X1X2X同一结构可以选取不同的基本体系P1X2XP1X00210022221211212111PPXXXX§10-3力法计算超静定结构一、刚架3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X1X2X1X2X1、基本体系与基本未知量：21X,X2、基本方程00210022221211212111PPXXXX3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X18279mkNMP1X11X2663mM166mM23、系数与自由项EI207dxEIMM1111EI144dxEIMM2222EI135dxEIMM212112EI702dxEIMMP1P1EI520dxEIMMP2P24、解方程2..............0520X144X1351...............0702X135X2072121kN11.1XkN67.2X215、内力P2211MXMXMM2.6721.333.564.335.66mkNM2.673.331.111.93.33kNQ1.113.331.9kNN说明：1）超静定结构在载荷作用下，其内力与各杆件EI的具体数值无关，只与各杆EI的比值（相对刚度）有关；2）对于同一超静定结构，其基本结构的选取可有多种，只要不为几何可变或瞬变体系均可。然而不论采用哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的。二排架——单层工业厂房（1）排架结构与计算简图结构形式计算简图基础柱子桁架EA=∞（2）计算假定计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即EA=∞）的链杆。计算简图EA=∞（3