第十一章-位移法

基本要求：掌握掌握位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。重点掌握荷载作用下的超静定结构计算掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。了解温度改变、支座移动下的超静定结构计算。DisplacementMethod位移法基本概念等截面直杆的杆端力位移法基本未知量位移法之典型方程法无侧移、有侧移刚架算例位移法之直接平衡法位移法计算对称结构支座移动和温度改变1、超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。位移法的特点：基本未知量——基本体系——基本方程——独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁§11-1位移法的基本概念因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立求解结点位移的位移法方程。ΔθAθBMABQABQBAMBA1、杆端力和杆端位移的正负规定①杆端转角θA、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。用力法求解i=EI/l2、形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力βMAB0MBA014i2iMiMiMBAAB2,4§11-2等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1212lili6li6li6AB10li3ABθ=13i023liABθ=1i－i0li33、载常数:由跨中荷载引起的固端力X1=－Δ1P/δ11=3ql/8Δ1=δ11X1+Δ1P=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/2MPq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BmABl，EIlX1=11MDP1EIqlllqlEI84323114211dEIlllEI3322132↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8082BAABmqlm各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成了载常数表11-2（P5）M图由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。单跨超静定梁简图mABmBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q212ql212qlABP8Pl8PlAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q28qlABl/2l/2P316Pl004、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：QBAQABMBAMABPMBAMAB+PliiiMliiiMBABABAABDD642624+mAB+mBA0ABBAABABQlMMQ0BAQ0ABQ‘BAQ’‘ABQ’ΔθAθBMABQABQBAMBAβ↓↓↓↓↓↓↓↓5、已知杆端弯矩求剪力：取杆件为分离体建立矩平衡方程：转角位移方程注：1、MAB,MBA绕杆端顺时针转向为正。2、是简支梁的剪力。0ABQ1、基本未知量的确定：PPθCθDΔΔθCΔΔΔ为了减小结点线位移数目，假定：①忽略轴向变形，②结点转角和弦转角都很微小。位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。结点角位移的数目=刚结点的数目PP即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。2、基本体系的确定：§11-3位移法的基本未知量和基本体系结点转角的数目：7个123相应的铰接体系的自由度=3独立结点线位移的数目：3个也等于层数3结点转角的数目：3个独立结点线位移的数目：2个不等于层数1位移法基本未知量结点转角独立结点线位移数目=刚结点的数目数目=铰结体系的自由度=矩形框架的层数在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。注意:①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。②剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。ABCDE③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。aΔlD④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。ΔΔΔ1Δ1Δ2Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21Δ1=1Δ1×Δ1×Δ2k11Δ2=1k22k12位移法基本体系0022221211212111DDDDPPFkkFkkF1=0F2=0•F11、F21(k11、k21)──基本体系在Δ1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•F12、F22(k12、k22)──基本体系在Δ2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•F1P、F2P──基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。§11-4位移法典型方程00022112222212111212111DDDDDDDDDnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkn个结点位移的位移法典型方程•主系数kii──基本体系在Δi=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；•付系数kij=kji──基本体系在Δj=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；•自由项FiP──基本体系在荷载单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；)()1(的弯矩图荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作PiiMMD；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN4m4m2m2miii↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kNΔ1Δ1基本体系F1当F1=0↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN202036MPM120360F1P=－162i4i3ii4i3iik11=8i解之:Δ1=－F1P/k11=2/i利用PMMMD11叠加弯矩图Δ1=116283030482M图(kN.m)01111DPFkFk11F1P+1D•由已知的弯矩图求剪力：0ABBAABABQlMMQ↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN4m4m2m2mii16283030482M图(kN.m)ABCDkN27241541628kNQBC5.31248430kNQBA332415416283327+31.5+16.5Q图(kN)•由已知的Q图结点投影平衡求轴力：031.533NBDNAB0B∑X=0NAB=0∑Y=0NBD=－64.5•校核：B30228∑MB=02764.516.5↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN∑Y=27+64.5+16.5－15×4－48=0位移法计算步骤可归纳如下：（P22）1）确定基本未知量；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；4）画单位弯矩图、荷载弯矩图;5)由平衡求系数和自由项；6）解方程，求基本未知量；7）按M=∑Mi·Δi+MP叠加最后弯矩图。8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。9）校核平衡条件。20kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABC3m3m6mii2kN/mABC16.7211.5792kN/m20kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABC1）确定基本未知量Δ1=θB；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；01111DPFk4）画M、MP;由平衡求系数和自由项；15159F1P159F1P=15－9=6Δ1=12i4iABC3ik114i3ik11=4i+3i=7i5）解方程，求基本未知量；ikFP761111D6）按M=∑Mi·Δi+MP叠加最后弯矩图30M图(kN.m)11.5711.577）校核平衡条件∑MB=0MPM1§11-5位移法计算连续梁及无侧移刚架4I4I5I3I3Iiii0.75i0.5iiii0.75i0.5iABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m例：作弯矩图1、基本未知量2、基本体系BAqlm8420822mkN.40BCqlm125201222CBmkNm.7.41mkN.7.41CBDD21,F1P=40－41.7=－1.7ABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m0022221211212111DDDDPPFkkFkk3、典型方程4）画MP、Mi;由平衡求kij、FiP4041.741.7MPM1F2P=41.7ABCDEF3i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3i=10ik21=2iM2ABCDEF3i4i2i2iik22=4i+3i+2i=9ik21=2i5）解方程，求基本未知量；07.419207.12102121DDDDiiiiii/89.4/15.121DDM1ABCDEF3i4i2i3i1.5iABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4041.741.7MPABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)B46.943.53.40BMC14.724.59.80CM↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiΔ2Δ2Δ1↓↓↓↓↓↓↓3kN/mΔ2Δ1F1F2F1=0F2=0↓↓↓↓↓↓↓3kN/mF1PF2Pk12k22乘Δ2k11k21乘Δ1Δ1=1Δ2=1002222121212121111DDDDPPFkkFFkkFF1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k2144MPF1P04F1P=4F2P=－662ql0F2P4i2i6i6i4ik11ii5.146k11=10ik21=－1.5iM1k1201.5i43i163ik21k22M2k12=－1.5ik21=15i/161.5i1.5i0.75i0616155.1045.1102121DDDDiiii解之:Δ1=0.737/i，Δ2=7.58/i利用PMMMMDD22111叠加弯矩图13.624.425.69M图(kN.m)§11-6位移法计算有侧移刚架与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。θAABAi3mABAB↓↓↓↓↓↓↓↓ABliD31、转角位移方程：liiiMliiiMBABABAABDD642624+mAB+mBAΔθAθBMABQABQBAMBAβ↓↓↓↓↓↓↓↓⑴两端刚结或固定的等直杆⑵一端铰结或铰支的等直杆033DBAABAABMmliiM⑶一端为滑动支承的等直杆BAABBAABBAABmiiMmiiMMABθAAB↓↓↓↓↓↓↓↓§11-9用直接平衡法建立位移法方程MABABθAθBMBA↓↓↓↓↓↓↓↓0ABBAABA