因式分解中的数学思想-(1)

1/3因式分解中的数学思想数学思想是数学的精髓，是连接知识和能力的桥梁，是解题的灵魂。因式分解这一章用到的数学思想有：一、整体思想例1分解因式(x+2)(x+4)+x2－4分析：分解因式时，此题如把括号展开整理后再分解很费事，若把x2－4x先分解成(x+2)(x－2),把(x+2)看成一个整体提出后即可分解因式。解：(x+2)(x+4)+x2－4=(x+2)(x+4)+(x+2)(x－2)=(x+2)(x+4+x－2)=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1)点评：从整体的角度出发，通过观察思考，寻求解题的途径。二、换元思想例2分解因式12341xxxx分析：可考虑把1423xxxx及分别结合相乘，将原式恒等变形为2254561xxxx，视其中相同的部分25xx为一个整体，并用字母y来代换，则原式变为461yy，展开整理后再用公式法分解既可。解：设x2+5x=y，则原式=14231xxxx=2254561xxxx=461yy=y2+10y+25=25y=2255xx2/3点评：换元法实质是整体求解法，只是将某一整体用另一个字母来代换，将多元化少元，高次转低次。三、转化思想例3分解因式x3+6x2－27x分析：x3+6x2－27x提出x后剩下x2+6x－27不能直接分解因式，想法转化为平方差公式分解。给x2+6x加9减9即可。解：x3+6x2－27x=x(x2+6x－27)=x(x2+6x+9－9－27)=x[(x+3)2－62]=x(x+3+6)(x+3－6)=x(x+9)(x－3)点评：转化思想是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去的一种思想方法。四、方程思想例4分解因式a2+ab－2b2+5b－3分析：这是一个二次六项式，利用分解因式的基本方法较难分解，但前三项由x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)可分解为(a+2b)(a－b)，所以可设原式=(a+2b+m)(a－b+n),展开后运用待定系数法求出m,n即可。解：设原式=(a+2b+m)(a－b+n)=a2+ab－2b2+(m+n)a+(－m+2n)b+mn.与原式比较对应系数，得2253mnmnmn，解得31mn所以原式=(a+2b－3)(a－b+1).点评：根据多项式的特点设未知数，根据系数相等例出方程或方程组，求出未知数的值，达到分解因式的目的，这是方程思想的应用。3/3练习题分解因式1、22629xyxy2、a2+4练习题答案1、22629xyxy=222323xyxy2、原式=a2+4=a2+4a2+4－4a2=22222222222aaaaaa