复变函数期末考试复习题及答案详解

1《复变函数》考试试题（一）1、1||00)(zznzzdz__________.（n为自然数）2.zz22cossin_________.3.函数zsin的周期为___________.4.设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有__________.5.幂级数0nnnz的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.8.)0,(Renzzes________，其中n为自然数.9.zzsin的孤立奇点为________.10.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.三.计算题（40分）：1.设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在}1||0:{zzD内的罗朗展式.2..cos11||zdzz3.设Cdzzf173)(2，其中}3|:|{zzC，试求).1('if4.求复数11zzw的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.试证:()(1)fzzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值.《复变函数》考试试题（二）二.填空题.(20分)21.设iz，则____,arg__,||zzz2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz________.3.1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）4.幂级数0nnnz的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是)('zf的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程083235zzz在单位圆内的零点个数为________.8.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_________.9.函数||)(zzf的不解析点之集为________.10.____)1,1(Res4zz.三.计算题.(40分)1.求函数)2sin(3z的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值.3.计算积分：iizzId||，积分路径为（1）单位圆（1||z）的右半圆.4.求dzzzz22)2(sin.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二.填空题.(20分)1.设11)(2zzf，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.33.若nnninnz)11(12，则nznlim__________.4.zz22cossin___________.5.1||00)(zznzzdz_________.（n为自然数）6.幂级数0nnnx的收敛半径为__________.7.设11)(2zzf，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设1ze，则___z.9.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.10.____)0,(Resnzze.三.计算题.(40分)1.将函数12()zfzze在圆环域0z内展为Laurent级数.2.试求幂级数nnnznn!的收敛半径.3.算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1||z.4.求0282269zzzz在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数)(zf在区域D内解析.证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz||时nzMzf|||)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题（四）4二.填空题.(20分)1.设iz11，则___Im__,Rezz.2.若nnzlim，则nzzznn...lim21______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数211)(zzf的幂级数展开式为__________5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7.设1|:|zC，则___)1(Cdzz.8.zzsin的孤立奇点为________.9.若0z是)(zf的极点，则___)(lim0zfzz.10.)0,(Resnzze_____________.三.计算题.(40分)1.解方程013z.2.设1)(2zezfz，求).),((Rezfs3..))(9(2||2zdzizzz.4.函数()fzzez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.(20分)1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析.2.证明0364zz方程在2||1z内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二.填空题.（20分）1.设iz31，则____,arg__,||zzz.52.当___z时，ze为实数.3.设1ze，则___z.4.ze的周期为___.5.设1|:|zC，则___)1(Cdzz.6.____)0,1(Reszez.7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。8.函数211)(zzf的幂级数展开式为_________.9.zzsin的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则___)(1Cndzaz.（n为自然数）三.计算题.(40分)1.求复数11zz的实部与虚部.2.计算积分：zzILdRe，在这里L表示连接原点到1i的直线段.3.求积分：I202cos21aad，其中0a1.4.应用儒歇定理求方程)(zz，在|z|1内根的个数，在这里)(z在1||z上解析，并且1|)(|z.四.证明题.(20分)1.证明函数2||)(zzf除去在0z外，处处不可微.2.设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当Rz||时nzMzf|||)(|，6证明:)(zf是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题（六）1.一、填空题（20分）1.若21(1)1nnnzinn，则limnz___________.2.设21()1fzz，则()fz的定义域为____________________________.3.函数sinz的周期为_______________________.4.22sincoszz_______________________.5.幂级数0nnnz的收敛半径为________________.6.若0z是()fz的m阶零点且1m，则0z是()fz的____________零点.7.若函数()fz在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数()fzz的不解析点之集为__________.9.方程532380zzz在单位圆内的零点个数为___________.10.公式cossinixexix称为_____________________.二、计算题（30分）1、2lim6nni.2、设2371()Cfzdz，其中:3Czz，试求(1)fi.3、设2()1zefzz，求Re((),)sfzi.4、求函数36sinzz在0z内的罗朗展式.5、求复数11zwz的实部与虚部.6、求3ie的值.三、证明题（20分）1、方程7639610zzz在单位圆内的根的个数为6.2、若函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析，(,)vxy等于常数，则()fz在D恒等于常数.73、若0z是()fz的m阶零点，则0z是1()fz的m阶极点.６．计算下列积分．（８分）(1)22sin()2zzdzz；(2)2242(3)zzdzzz．７．计算积分2053cosd．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1)1(1)nnniz；(2)21(!)nnnnzn．９．设3232()()fzmynxyixlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）三、证明题．１．设函数()fz在区域D内解析，()fz在区域D内也解析，证明()fz必为常数．（５分）２．试证明0azazb的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题（一）参考答案二．填空题1.2101inn；2.1；3.2k，()kz；4.zi；5.16.整函数；7.；8.1(1)!n；9.0；10..三．计算题.1.解因为01,z所以01z111()(1)(2)12(1)2fzzzzz001()22nnnnzz.2.解因为22212Re()limlim1cossinzzzzsfzzz,822212Re()limlim1cossinzzzzsfzzz.所以22212(Re()Re()0coszzzdzisfzsfzz.3.解令2()371,则它在z平面解析,由柯西公式有在3z内,()()2()cfzdzizz.所以1(1)2()2(136)2(613)zifiiziii.4.解令zabi,则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzababab.故2212(1)Re()11(1)zazab,2212Im()1(1)zbzab.四.证明题.1.证明设在D内()fzC.令2222(),()fzuivfzuvc则.两边分别对,xy求偏导数,得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析,所以,xyyxuvuv.代入(2)则上述方程组变为00xxxxuuvvvuuv.消去xu得,22()0xuvv.1)若220uv,则()0fz为常数.2)若0xv,由方程(1)(2)及..CR方程有0,xu0yu,0yv.所以12,ucvc.(12,cc为常数).所以12()fzcic为常数.2.证明()(1)fzzz的支点为0,1z.于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z时,只有z的幅角9增加.所以()(1)fzzz的幅角共增加2.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在1z的幅角为2,故2(1)22ifei.《复变函数》考试试题（二）参考答案二.填空题1.1，2，i；2.3(1sin2)i；3.2101inn；