2019-2020创新设计一轮复习---第四章教材高考审题答题二

热点预测真题印证核心素养三角函数的图象与性质2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，8；2018·全国Ⅲ，6；2017·浙江，17；2017·山东，16；2017·全国Ⅱ，14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4；2017·全国Ⅰ，15；2016·全国Ⅰ，14逻辑推理、数学运算解三角形2018·全国Ⅰ，17；2018·全国Ⅱ，6，2017·全国Ⅰ，17；2018·北京，15；2018·天津，15；2016·全国Ⅰ，17逻辑推理、数学运算教材链接高考——三角函数的图象与性质[教材探究](必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值.题目10已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性.解(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z).设A＝－π4，π4，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.探究提高1.将f(x)变形为f(x)＝2sin2x－π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017·山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3，已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值.解(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.由题设知fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ(k∈Z)，故ω＝6k＋2(k∈Z).又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3，当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－32.教你如何审题——三角变换、三角函数与平面向量的交汇【例题】(2019·青岛质检)已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA→·BC→的值.[审题路线][自主解答]解(1)f(x)＝m·n＝23sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2π2|ω|＝π.又ω＞0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋π6.设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.因为f(B)＝－2，所以2sin2B＋π6＝－2，即sin2B＋π6＝－1，由于0Bπ，解得B＝2π3.因为BC＝3，即a＝3，又sinB＝3sinA，所以b＝3a，故b＝3.由正弦定理，有3sinA＝3sin2π3，解得sinA＝12.由于0＜A＜π3，解得A＝π6.所以C＝π6，所以c＝a＝3.所以BA→·BC→＝cacosB＝3×3×cos2π3＝－32.探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值.解(1)f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z).(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1，又π3＜2A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π，即A＝π3.∵a＝7，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，∴2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，②由①②得b＝3，c＝2.满分答题示范——解三角形【例题】(12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.[规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12acsinB＝a23sinA就有分，第(2)问中求出cosBcosC－sinBsinC＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA；第(2)问由余弦定理得b2＋c2－bc＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cosBcosC－sinBsinC＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.[构建模板]【规范训练】(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.1.已知函数f(x)＝sinx－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，2π3上的最小值.解(1)因为f(x)＝sinx＋3cosx－3＝2sinx＋π3－3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间0，2π3上的最小值为f2π3＝－3.2.(2019·济南调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝5(a2－b2－c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值.解(1)由asinA＝4bsinB，及asinA＝bsinB，得a＝2b.由ac＝5(a2－b2－c2)，及余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－55acac＝－55.(2)由(1)，可得sinA＝255，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝asinA4b＝55.由(1)知，A为钝角，所以cosB＝1－sin2B＝255.于是sin2B＝2sinBcosB＝45，cos2B＝1－2sin2B＝35，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝45×－55－35×255＝－255.3.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋23sinxcosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝17，求△ABC中线AD的长.解(1)f(x)＝－cos2x＋3sin2x＝2sin2x－π6.∴T＝2π2＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π6，∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin2A－π6＝1，∴2A－π6＝π2，∴A＝π3.又cosB＝17，∴sinB＝437，∴sinC＝sin(A＋B)＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC中，由正弦定理csinC＝asinA，得55314＝a32，∴a＝7，∴BD＝72.在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝52＋722－2×5×72×17＝1294，因此△ABC的中线AD＝1292.4.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝cosx(cosx＋3sinx).(1)求f(x)的最小值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，S△ABC＝334，c＝7，求△ABC的周长.解(1)f(x)＝cosx(cosx＋3sinx)＝cos2x＋3sinxcosx＝1＋cos2x2＋32sin2x＝12＋sin2x＋π6.当sin2x＋π6＝－1时，f(x)取得最小值－12.(2)f(C)＝12＋sin2C＋π6＝1，∴sin2C＋π6＝12，∵C∈(0，π)，2C＋π6∈π6，13π6，∴2C＋π6＝5π6，∴C＝π3.∵S△ABC＝12absinC＝334，∴ab＝3.又(a＋b)2－2abcosπ3＝7＋2ab，∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋7，故△ABC的周长为4＋7.5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别