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给人改变未来的力量____________________________________________________________________________________________第1页教案姓名孙璐璐授课方向数量关系授课内容容斥问题时长45分钟教学目标和要求1、了解容斥类题型的含义2、体会图解法解决容斥问题的思维过程。3、熟练掌握图解法。教学重点和难点教学重点：用图解法解决容斥问题。教学难点：图解法解决容斥问题的思维过程。教学内容及过程引入容斥问题是行测数量关系这一部分的常考题型。在国考中基本上每年都会考一道题。由“容斥问题是解决什么问题的？”引出容斥问题是解决集合与集合之间交叉关系的。首先简单回顾一下集合与集合之间交叉关系的内容：1、AB集合A与集合B相交，我们根据以前学过的知识，我们都知道有一些符号：A∩B，A∪B,A,I,¢都表示什么？一些计算关系A∩B的补集和A∪B的补集是什么？还有一个公式A∪B是什么？我们发现这些符号和计算关系记忆都很模糊了，而且即使记得，也发现应用这个公式解决问题不是很方便。但是我们知道这个公式是从图像当中转化出来的，那也就是说解决容斥问题最好的方法还是容斥法。我们结合例题看一下图解法的解题思路和具体应用。一、两个集合相交时，应用图解法。例题一：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者而非奥运会志愿者的同学是多少？A、3人B、9人C、10人D、17人给人改变未来的力量____________________________________________________________________________________________第2页ACBD分析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。观察图形，发现图形中出现四个独立的区域。弄清楚图中各个部分表示的含义，那部分表示是奥运会自愿者而不是全运会自愿者？那部分表示是全运会自愿者而不是奥运会自愿者？那部分表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者？那部分表示两种自愿者都不是？第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。A表示是奥运会自愿者而非全运会自愿者。B表示是全运会自愿者而非奥运会自愿者。C表示既是奥运会自愿者，又是全运会自愿者。D表示两种自愿者都不是。那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来实现。比如：奥运会自愿者就可以表示成A+C。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B+C+D=50（1）A+C=10（2）B+C=17（3）D=30（4）要求全运会自愿者而非奥运会自愿者的同学数，就是图中的B。第四步：求解。在求解过程当中大家要注意，题中虽然给出四个未知数，列出四个方程，就一定都能求解。但是我们在求解这种问题的时候要注意问题是什么？然后根据已知的4个方程，快速的组合出这个要求的数据就可以了。不需要把其他数据也求出来。B=(1)-(2)-(4)=50-10-30结合选项发现尾数都不一样，用尾数法计算，B的尾数为0直接选择C选项。小结：以上就是运用图解法来解决容斥问题，大家要好好体会一下它的解题过程。以及熟练把握我们的解题四步。结合选项运用尾数法选出正确答案。练习做讲义，经典例题2。对答案，点播。练习做讲义，经典例题3。这道题注意，先根据比例关系，求出具体数值。然后在根据题意画图，解题。小结：这是两个集合相交的时候，用这种方法就可以求解了。在做题过程中大家注意灵活掌握。那么在行测考试当中还经常考到比这个在复杂一点的题型。三个集合两两相交的情况。二、三个集合相交时，应用图解法例题4：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20给人改变未来的力量____________________________________________________________________________________________第3页人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是？A、69人B、65人C、57人D、46人14752638分析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。这个题就属于三个集合两两相交的情况，这个时候它形成8个封闭的区间。如果按照上面的方法，我们发先这样的时候封闭区间会太多。会设出8个未知数，列出8个方程。8元一次方程求解太困难了。所以这个时候会想到把几个部分放在一起看，从新设未知数的方法。第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。独立区间1、2、3都表示只看过一部影片的人。用字母A表示。独立区间4、5、6都表示只看过两部影片的人。用字母B表示。独立区间7表示三部影片都看过的人。用字母C表示。独立区间8表示三部影片都没看过的人。用字母D表示。那么这样表示以后，我们会发现，题干当中任何一个概念都可以用字母的组合来实现。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B+C+D=125(1)A+2B+3C=89+47+63(2)C=24(3)D=20（4）这里注意等式而表示的是A表示1、2、3出现一次。2B表示4、5、6出现两次。3C表示7出现了三次。A+2B+3C刚好表示看过甲片的人，看过乙片的人，看过丙片的人的人次和。等式（1）和等式（2）一般来讲是所有三个集合两两相交的问题，必然会出现的两个等式，大家要好好体会，灵活掌握。第四步：求解。问题当中要求求解，“只看过两部影片的人数”就是这里的B。我们消去A、C、D就可以了。B=（2）+（4）-（1）-2（3）结合选项发现四个选项尾数均不同，利用尾数法求的B的尾数为6。故选择D选项。小结：四个步骤。第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。第二步：第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。给人改变未来的力量____________________________________________________________________________________________第4页第三步：根据题意建立等量关系了。第四步：求解。练习做讲义，随堂练习2。对答案，点播。结：以上是关于容斥问题在行测考试当中最基本的两种考法。关于容斥问题，还有一种稍微复杂一点的考法。三、集合相交求“至多”和“至少”的问题。例题5：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题？A、4题B、8题C、12题D、16题分析：这道理你一看是不是就知道它考的是容斥问题，但是有同学算出来选什么了么？为什么大部分同学看到这道题的时候不会做呢？但是你看了答案好像还很简单的就算了出来。那是因为你欠缺了一种思维。一种由条件到答案的思维。其实这样的类型题你想清楚了，其实是很容易求解的。这个题给出的是三个集合之间求“至少”的问题。三个的直接看有点复杂，我们先看两个集合求最小的情况。（一）：两个集合求最小。ABCD分析：如我们开始学习的四步法。第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。用A表示小明答对，而非小刚答对的题目数。用B表示既是小明答对又是小刚答对的题目数。用C表示小刚答对，而非小明答对的题目数。用D表示两个人都未答对的题目数。第三步：根据题意建立等量关系了。A+B=68(1)B+C=58(2)A+B+C+D=100(3)第四步：求解。我们用（1）+（2）-（3）=B-D=68+58-100=26这里B和D都是未知量，但是通过分析我们能发现当D取最小值时，B也取最小值。D=0是它的最小值。（根据题意D不能为负，而这里A、B、C、D都表示整数）所以B=26为最小值。这里注意题中没问“至多”情况。如是“至多”也好理解，就是把小刚做对的58道，让小明也都做对。这样至多就是58道题了。结：以上我们分析了两个集合相交，求最小的情况，那三个集合相交求最小怎么求呢？给人改变未来的力量____________________________________________________________________________________________第5页（二）三个集合求最小。分析：大家都知道多米诺骨牌。它是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一种游戏，多米诺是一种运动，多米诺还是一种文化。其实它更蕴含一种思想，一种数学归纳的思想。我们既然分析了两个集合相交求“至少”的情况，那么接下来，我们可以把我们算得的小明与小刚的最小交集看成一个集合，在与小红的交，得到“至少的情况”，应该=26+78-100=4道。小结：这样我们就整理出来一个规律。规律：若N个集合交出一个最小值的话，一般来讲就是把所有集合加和，然后减去（N-1）×全集。就得到了。四、小结本节课的内容主要有两大部分：一个是容斥问题的基本考点。一个是容斥问题中几个集合相交求“至多”和“至少”的情况。图解法四步原则：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系。第二步：第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。第三步：根据题意建立等量关系了。第四步：求解。几个集合交，求至少的规律：规律：若N个集合交出一个最小值的话，一般来讲就是把所有集合加和，然后减去（N-1）×全集。就得到了。五、课后练习随堂练习题。