解析几何中的几何背景分享

悦1高中解析几何中的几何背景（解答题）模块一：常见结论一．斜率互补，倾角定值过曲线上一定点00xy，作倾角互补的两直线与曲线的另外两个交点的连线的倾斜角为定值．【圆】定值=00xy【焦点在x轴上的椭圆】定值=2020bxay；【焦点在y轴上的椭圆】定值=2020axby；【双曲线】定值=2020bxay；【抛物线】定值=0py．以焦点在x轴上的椭圆为例证明如下：设点00Pxy，，直线00:PAyykxx，即000yykxykx，联立椭圆与直线PA：2222001xyabykxykx，得：22222222000020akbxkaykxxaykxb，故20002222Akaykxxxakb，得20002222Akaykxxxakb，故2200000002222AAkaykxykxykxkxykxakb，同理：20002222Bkaykxxxakb，22000002222Bkaykxykxykxakb，故202224BAxkbyyakb，202224BAykaxxakb，故2020BAABBAbxyykxxay，命题得证．悦2【例题】【eg】（2009·辽宁）已知椭圆过点312A，，两个焦点为1010，，，（1）求椭圆C的方程；（2）EF，是椭圆C的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求这个定值．【eg】（2017·盐城）如图，点13A，为椭圆222xyn上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于BC，两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线ABAC，与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求三角形ABC的面积最大值，并求出此时直线BC的方程．yxOCBA悦3二．直径端点，斜积定值圆、椭圆、双曲线的动弦的斜率与该动弦中点和曲线中心连线的斜率之积为定值．【圆】定值=1【焦点在x轴上的椭圆】定值=22ba；【焦点在x轴上的椭圆】定值=22ab；【焦点在x轴上双曲线】定值=22ba；【焦点在y轴上双曲线】定值=22ab；以焦点在x轴上的椭圆为例证明如下：（点差法）设0000AxyBxyPxy，，，，，，则：22002222221112xyabxyab，，21得：222200220xxyyab，故22202220yybxxa，故222000222000PAPByyyyyybkkxxxxxxa．三．动弦中点，斜积定值圆、椭圆、双曲线上的动点与曲线“直径”端点的连线的斜率之积为定值．【证明】由（2）得：22PAOMPAPBbkkkka【推论】1．AP是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AP的中点，2020APbxkay2．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被0P所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.PBAMPBA悦4【例题】【eg】（2011·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，MN，分别是椭圆22142xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于PA，两点，其中P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C．连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当2k时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意的0k，证明：PAPB．【eg】（2016·苏州）如图，已知椭圆22:14xOy的右焦点为F，点BC，分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线:2ly上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求三角形FBM的面积；（2）①记直线BMBP，的斜率分别为12kk，，求证：12kk为定值；②求PBPM的取值范围．悦5四．焦点半径，倒和定值圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的倒数之和为定值：2ep（p指焦点到相应准线的距离）【证明】（极坐标方式证明）以圆锥曲线的左焦点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则1cosepe．设1cosepAFe，则1cosπ1cosepepBFee，则111cos1cos2eeAFBFepepep【启示】对于和焦半径相关的问题的处理方式（1）联立方程利用韦达定理求解；（2）使用圆锥曲线的第二定义推倒的焦半径公式求解；（3）利用圆锥曲线的极坐标方程求解．【例题】【eg】（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1200FcFc，，，．已知312ee，，，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设AB，是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．FBA悦6五．正交焦弦，倒和定值圆锥曲线相互垂直的焦点弦长的倒数之和为定值，21122eABCDep．【证明】（极坐标方式证明）设11AFrBFr，，22CFrDFr，则112221cos1cos1cosepepepABrreee根据垂直关系可得：22222ππ1sin1cos1cos22epepepCDrreee，故21122eABCDep．【例题】【eg】（2013·北京东城）已知椭圆22:184xyC．MNPQ，，，是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过左右焦点12FF，，且MNPQ，证明：11MNPQ为定值．DCBAF悦7六．焦弦中垂，焦交定长圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（实轴/对称轴）的交点到焦点的距离与焦点弦长的比值为定值，定值为离心率的一半．【证明】11121cos1cosepepAFrBFree，，112221cosepABAFBFe，212121222cos221cosrrrrepCFre，21122cos1cosCFepDFe，；12DFeAB，得证．【例题】【eg】（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于AB，两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点PC，，若2PCAB，求直线AB的方程．CDABF1悦8七．正交半径，性质相关直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在椭圆上，则中心在斜边上的射影是点．（1）22221111||||OAOBab故：222222min4abOAOBab；22min22OABabSab（2）点H轨迹方程为222222abxyab．【例题】【eg】（2017·苏州二模）已知椭圆2222:10xyCabab的左焦点为10F，，左准线为2x．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于AB，两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PAAFPBBF，，求证：为常数；②若OAOB（O为原点），求三角形OAB的面积的取值范围．【注】该题目中涉及到的另外的性质：中心三角形的面积最大值问题AB，是椭圆222210xyabab上任意不重合两点，则max12OABSab．【证明】（椭圆中的三角换元+坐标三角形面积计算公式）设cossincossinAabBab，，，，则11cossinsincossin22OABSababab，故max12OABSab．HABOOBA悦9八．斜率定积，连线过定过圆锥曲线上一定点P作两条弦PAPB，，若PAPBkkm（定值），则直线AB过定点．椭圆定点：2222002222xambyambambamb，；双曲线定点：2222002222xambyambambamb，；抛物线定点：002pxym，．【例题】【学生问的一道题】已知椭圆22:1164xyC的上顶点为A，过A作斜率之积为14的两条直线交C与RS，（不与A重合），证明：直线RS过定点．【证明】法一：设直线:2ARykx，与椭圆联立得：2241160kxkx，故：2164+1Rkxk，2222162824+14+1Rkkykk，故22216284+14+1kkRkk，将k换成14k可得：22216284+14+1kkSkk，，故RS，关于原点对称，故直线RS恒过原点00，．法二：设直线:RSykxm，与椭圆联立得：222418440kxkmxm21212224484141mkmxxxxkk，，1212122224+1myykxmkxmkxxmk，222212121212216+4+1mkyykxmkxmkxxkmxxmk，由12122214yyxx化简可得：0m，故直线RS恒过原点00，．悦10模块二：常用思路和方法一．圆与椭圆的关系对于圆与椭圆中的伸缩变换，以椭圆222210xyabab伸缩为圆为例，将椭圆上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的ab倍，即进行：xxayyb变换，得到的图形的方程是222xya．椭圆上的量和圆上的量的对应关系是：（1）一条直线变换前后的斜率分别为kk，，则akkb；（2）设线段变换前后的长度分别为dd，，则22221bakddbk；（3）原线段上的分点性质伸缩后保持不变，即中点还是中点，n等分点还是n等分点．（4）三角形的面积变为原来的ab倍；【注：三角形面积的行列式表示法】112233AxyBxyCxy，，，，，，则11223311121ABCxySxyxy（5）直线的平行性不变：原椭圆中的两平行直线伸缩后依旧平行；（6）直线与椭圆的位置关系跟直线与圆的位置关系保持一致，即相交对应相交，相切对应相切（原来的切点对应变换后的切点），相离对应相离．C'CB'BA'A悦111．利用伸缩变换思路理解【结论1】、【结论2】、【结论3】【结论1】斜率互补，倾角定值【证明】0000ABABxxakkaybyb故2020ABbxkay．【结论2】动弦中点，斜积定值【证明】1OMAPkk故1OMAPaakkbb，得：22OMAPbkka【结论3】直径端点，斜积为定【证明】1BPAPkk故：1BPAPaakkbb，得：22BPAPbkka．悦12【例题】【2014·全国（I）20】已知点02A，，椭圆2222:10xyEabab的离心率是32，F是E的右焦点，直线AF的斜率是233，O是坐标原点．（1）求椭圆E的方程；【2214xy】（2）设过点A的动直线l与椭圆E交于PQ，两点，则当三角形OPQ面积最大时，求l的方程．【法一】设线，联立，弦长公式表示PQ，点到直线距离表示高，面积公式求解转化为k的函数，求最值即可．设:2lykx，与椭圆联立得：224116120kxkx，216430k222443141kPQkk，00O，到l的距离221dk，故221434241ABCkS