双曲线简单几何性质练习题

双曲线的简单几何性质练习题班级姓名学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝12．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x3．下列双曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝14．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝45．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.226．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)7．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝18．(江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．10．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．11．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．12．双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝52；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解析：选A由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以ba2＋1＝e2＝4，所以ba＝3，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为x24－y212＝1.2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x解析：选C因为双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又离心率为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝52，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x.3．下列双曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1解析：选B由e＝62得e2＝32，∴c2a2＝32，则a2＋b2a2＝32，∴b2a2＝12，即a2＝2b2.因此可知B正确．4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：选A令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝12c2＝12×16＝8，故选A.答案第2页，总5页5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.22解析：选B由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝a2＋b2＝2a，于是e＝ca＝2.6．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：选B由题意知k0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝a2＋b2a2＝4－k4＝1－k4.又e∈(1,2)，∴11－k44，∴－12k0.7．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：选B设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y1＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.8．(江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x216－y29＝0，解得y＝±34x.答案：y＝±34x9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，∴双曲线的标准方程为x29－y216＝1.答案：x29－y216＝110．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，将直线AB方程：y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.显然Δ0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12，x1x2＝－138，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13×122－4×－138＝3.答案：311．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝b2a，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：212．双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线x29－y216＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±43x.不妨设直线FB的方程为y＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x答案第4页，总5页＝175，y＝－3215，所以B175，－3215.所以S△AFB＝12|AF||yB|＝12(c－a)|yB|＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝52；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a2－2b2＝1.①又e＝ca＝a2＋b2a2＝52，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝14，故所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理可得b2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝1＋b2a2＝2，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：(1)由题意得a2c＝33，ca＝3，解得a＝1，c＝3.所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－y22＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由x－y＋m＝0，x2－y22＝1，得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ0)．所以x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m.因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.