初等函数(1)典型例题

例1.已知a=91,b=9.求：（1）;315383327aaaa（2）111)(abba.解：（1）原式=3127a.3123a÷［a21)38(·21315a=2167a)2534(=a21.∵a=91，∴原式=3.（2）方法一化去负指数后解..1111)(111baababbaabbaabba∵a=,9,91b∴a+b=.982方法二利用运算性质解..11)(11111111111ababbabbaaabba∵a=,9,91b∴a+b=.982变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132bababa（2）.)4()3(6521332121231bababa解：（1）原式=.100653121612131656131212131bababababa（2）原式=-.4514545)(45)·2(2523232123313612331361abababbababababa例2.函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是（）A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx)D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b满足等式ba)31()21(，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：B例3.（1）f(x)=3452xx;2）g(x)=-(5)21(4)41xx.解：（1）依题意x2-5x+4≥0,x≥4或x≤1,∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=,49)25(4522xxx∵x∈（-∞，1］∪［4，+∴u≥0，即452xx≥0，而f(x)=3452xx≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.∵u=49)25(2x,∴当x∈（-∞，1］时，u当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合f（x）=3452xx在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.（2）由g(x)=-(,5)21(4)21(5)21(4)412xxxx∴函数的定义域为R，令t=()21x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立的条件是(x)21=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(x)21是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+由0＜t=(x)21≤2,可得x≥-1,t=(x)21≥2,可得x≤-1.∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(226)21xx;(2)y=262xx.解：（1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=(u)21.∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=41,在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=()21u是减函数，∴函数y=(226)21xx在［41，+∞）上是增函数.故y=(226)21xx单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u=x2-x-6,则y=2u,∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，∴函数y=262xx在区间［21，+∞）上是增函数.故函数y=262xx的单调递增区间是［21，+∞）.例4．设a＞0,f(x)=xxaaee是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解：∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴,eeeexxxxaaaa∴（a-)e1e)(1xxa=0对一切x均成立，∴a-a1=0，而a＞0,∴a=1.（2）证明在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=1ex+1e1x-2ex-2e1x=)ee(12xx().1e121xx∵x1＜x2,∴,ee21xx有.0ee12xx∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴21exx＞1,21e1xx-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),故f(x)在（0,+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=142xx.（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解：当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-.142142xxxx由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=1,0,10)0,1(142)1,0(142xxxxxxx(2)证明当x∈(0,1)时，f(x)=.142xx设0＜x1＜x2＜1,则f(x1)-f(x2)=,)14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx∵0＜x1＜x2＜1,∴1222xx＞0，221xx-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),故f(x)在（0，1）上单调递减.例1计算：（1）)32(log32（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg2;（3）21lg4932-34lg8+lg245.解：（1）方法一设)32(log32=x,(2+3)x=2-3=321=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log32=32log321=32log(2+3)-1=-1.（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+12lg2)2(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg2+(1-lg2)=1.（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21(5lg2-2lg7)-34×2lg23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)=21lg10=21.变式训练1：化简求值.（1）log2487+log212-21log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).解：(1)原式=log2487+log212-log242-log22=log2.232log221log242481272322（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg63lg5·3lg22lg3)2lg33lg2lg23lg(·)3lg22lg3lg2lg例2比较下列各组数的大小.（1）log332与log556;2）log1.10.7与log1.20.7;（3）已知log21b＜log21a＜log21c,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log332＜log31=0,而log556＞log51=0,∴log332＜log556.(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log1.1log7.00.7,∴2.1log11.1log17.07.0,即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y=x21log为减函数，且cab212121logloglog,∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则logabbbba1log,log,1的大小关系是（）A.logabbbba1loglog1B.bbbbaa1log1loglogC.bbbaba1log1loglogD.bbbaablog1log1log解：C例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x).∵f（x）=logax在［3，+∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.∴对于任意x∈［3，+|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+只要-loga3≥1∴loga3≤-1=logaa1,即a1≤3,∴31≤a＜1.综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.解：令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-2a）2-a-42a,由以上知g(x）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴0)31()31(3220)31(2312aaaga，即解得2-23≤a＜2.故a的取值范围是{a|2-23≤a＜2}.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明:点C、D和原点O（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以228118loglogxxxx点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=2loglog818x=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=118112log3logxxxx,OD的斜率为,log3log2282222xxxxk由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.（2）解：由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=31log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,又因x1＞1,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log83).变式训练4：已知函数f(x)=log211xx+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求