第二章：一元函数微分学(下)

85评注：曲线的水平渐近线最多有两条．[例2.7]填空⑴曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程为______；⑵曲线122xxy的斜渐近线方程为_____．解：⑴由于4sin14sin1limlim2cos52cos55xxxxxxxxxx.故曲线的水平渐近线方程为15y．⑵因为22()1limlim22xxfxxaxxx，41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为1124yx．评注：如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握．这里应注意两点：⑴当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；⑵若当x时，极限xxfax)(lim不存在，则应进一步讨论x或x的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线．十、曲率、曲率半径曲线()yfx上任一点(,())xfx处的曲率及曲率半径分别为3221,[1()]yKRKy（当0)K．●●常考题型及其解法与技巧一、函数形态的研究Ⅰ研究函数的单调增减性这里包括判断或证明函数的单调增减性、求函数的单调增减区间等．其方法主要依据函数单调性判别定理．[例2.2.1]判断函数11()(1)xfxx在区间(0,)内的单调增减性．解：1111()(1)[ln(1)]xfxxxx显然，当0x时，11(1)0xx．为了判定()fx的符号，只需考查函数8611()ln(1)xxx的符号．易得lim()0xx，0lim()xx又21()(1)xxx，所以当0x时，()0x，即()x单调增加．由此可知当0x时，()0x，从而11()(1)()0xfxxx，故()fx在区间(0,)内的单调减少．[例2.2.2]求函数3323,20()(1),02xxfxxxx的单调增减区间．解：函数的定义域为[2,2]．当20x时，2()3fxx；当02x时，325()5()3xfxx；当0x时，由于320(1)3(0)limxxxfx不存在，所以(0)f不存在．从由在(2,2)内()fx的导数为零和导数不存在的点为1220,5xx．当20x时，2()30fxx，故函数在[2,0]上单调增加；当205x时，325()5()03xfxx，故函数在2[0,]5上单调增加；当225x时，325()5()03xfxx，故函数在2[,2]5上单调减少．[例2.2.3]设()fx在区间(,)内二阶可导，且()0,(0)0fxf．证明：函数()()fxxx在区间(,0)和(0,)内分别是单调增加的．证明：2()()()xfxfxxx为证()x在区间(,0)和(0,)内分别是单调增加的，只需证明在相应的区间内87()0x．即只要证明()()0xfxfx．令()()()gxxfxfx，则(0)(0)0gf，()()()()()gxxfxfxfxxfx由条件可知，当0x时()0gx，当0x时()0gx，所以(0)(0)0gf为函数()gx的极小值，并且0x为()gx的唯一驻点，故(0)g是()gx的最小值，所以在区间(,0)和(0,)内()(0)0gxg，从而在区间(,0)和(0,)内()0x，证毕．Ⅱ研究函数的极值函数的极大值和极小值统称为函数的极值．这里包括讨论函数的极值、求函数的极值等．讨论或求函数的极值通常有两种方法，一是应用极值的第一充分条件，二是应用极值的第二充分条件．需要指出的是，有时要根据极值的定义进行讨论．[例2.2.4]求函数23(1)2!3!xxxyxe的极值．解：函数的定义域为(,)．2233(1)(1)2!2!3!3!xxxxxxxyxexee所以定义域内函数的导数为零和不存在的点只有驻点0x．当0x时，303!xxye；当0x时，303!xxye．故函数y在点0x取得极大值(0)1y．[例2.2.5]⑴已知()fx在0x的某个邻域内可导，且20()(0)0,lim2ln(1sin)xfxfx，则在点0x处()fx（A）(0)f存在且(0)0f（B）(0)0f不存在（C）取得极大值（D）取得极小值⑵设()fx在0x的某个邻域内可导，且0()lim1xfxx，则（A）(0)f不是函数()fx的极值，但(0,(0))f是曲线()yfx的拐点；（B）(0)f不是函数()fx的极值，(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点；88（C）(0)f是函数()fx的极小值；（D）(0)f是函数()fx的极大值解：⑴由题设20()(0)0,lim2ln(1sin)xfxfx，根据极限的保号性知在0x的某邻域内必有2()0ln(1sin)fxx，即()0(0)fxf，所以()fx在0x取极小值．又由20()(0)0,lim2ln(1sin)xfxfx可得20()(0)lim2xfxfx，所以0()(0)lim0xfxfx，即(0)0f，所以（A）、（B）不正确因此应选（D）．⑵由于0()lim1xfxx，所以可得存在0x的一个去心邻域(,0)(0,)U，使得xU都有()0fxx，因此当(,0)x时，()0fx；当(0,)x时，()0fx从而(0)f是函数()fx的极大值，故应选（D）．[例2.2.6]设函数()fx对一切x满足微分方程2()3[()]1xxfxxfxe且()fx在0x处连续，（Ⅰ）证明：若()fx在点0a处有极值，则该极值为极小值；（Ⅱ）若()fx在点0x处有极值，问该极值是极大还是极小？证明：（Ⅰ）若()fx在点0a处有极值，所以()0fa，又因为函数()fx对一切x满足微分方程2()3[()]1xxfxxfxe所以1()0aefaa，故在点0a处，()fx有极小值；（Ⅱ）若()fx在点0x处有极值，则(0)0f，且89213[()](),(0)xexfxfxxx由于()fx在0x处连续，所以20013[()](0)lim()limxxxexfxffxx2001lim3lim[()]1xxxefxx因此若()fx在点0x处有极值，该极值还是极小值．[例2.2.7]设函数()fx在点a的邻域内有定义，且()()lim()nxafxfabxa0)(b其中n为正整数，试讨论()fx在点a处的极值解：由题设()()lim()nxafxfabxa，故()()()nfxfaxa=()bx，其中()0()xxa，从而有()()[()]()nfxfabxxa，在a的足够小的邻域内，()bx与b同号，因此在点a的足够小邻域内有：⑴如果n为偶数，则()()fxfa与b同号，于是0b时，()fa为极大值；当0b时，()fa为极小值；⑵如果n为奇数，则当x变化经过点a时，()()fxfa变号，所以()fx在xa处不取极值．[例2.2.8]设()(()1)fxxfx且(0)0f，求()fx的极值．解：由()(()1)fxxfx可得()()fxxfxx（1）()()fxxfxx（2）由（1）、（2）可得22()()fxxfxxx，所以9022()1xxfxx故函数在其定义域内导数为零和导数不存在的点为0,1xx，又因为2222222(12)(1)()212()(1)(1)xxxxxxxfxxx所以(0)10,(1)20ff，因此0x是函数的极小值点，1x是函数的极大值点．由22()1xxfxx，可得21()ln(1)arctan2fxxxxc由于(0)0f，所以21()ln(1)arctan2fxxxx因此函数极小值为(0)0f，极大值为1(1)1ln(2)24f．Ⅲ研究曲线的凹凸性这里包括判断或证明曲线的凹凸性，求曲线的凹凸区间和拐点．与函数极值情形类似，若函数()fx在定义域内连续，则曲线()yfx的拐点只可能出现在()0fx和()fx不存在的点处．[例2.2.8]⑴已知函数()fx当0x时满足2()3[()]lnfxfxxx且(1)0f，则（A）(1)f是函数()fx的极大值；（B）(1)f是函数()fx的极小值；（C）(1,(1))f是曲线()yfx的拐点；（D）(1)f不是函数()fx的极值，点(1,(1))f也不是曲线()yfx的拐点．⑵设函数()fx在点0x的某邻域内具有连续的二阶导数，且(0)(0)0ff，则（A）点0x为()fx的零点（B）点0x为()fx的极值点（C）当0()lim1xfxx时，(0,(0))f为拐点（D）当0()lim1sinxfxx时，(0,(0))f为拐点解：⑴由题设知2()3[()]lnfxfxxx(0)x，这表明在0x时，()fx存在，于是()fx在0x时连续．由上式知()fx在0x时连续，且(1)0f．91由于(1)f211()ln3[()]limlim1(1)xxfxxxfxxx11ln6()()lim101xxfxfx所以(1)f不是函数的极值,但(1,(1))f是曲线()yfx的拐点．故应选（C）．⑵构造函数()2fx，则(0)(0)0ff，但点0x不是()fx的零点，也不是()fx的极值点，所以（A），（B）不正确；由0()lim1sinxfxx0，可知存在0，当(,)x(0)x时，()0sinfxx即()fx与sinx同号，因此当(,0)x时，()fx0；当(0,)x时，()0fx故(0,(0))f为拐点．同样的方法可知，当0()lim1xfxx时，(0,(0))f不是拐点．所以应选（D）．[例2.2.9]⑴求曲线1,0(3),0xexyxxx的凹凸区间和拐点；⑵设函数()yyx由参数方程333131xttytt确定，求曲线()yyx向上凸的x的取值范围为；⑶设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，是判断曲线()yyx在点(1,1)附近的凹凸性．解：⑴由10000limlimlimlim(3)0(0)xxxxxyeyxxy知曲线在定义域(,)内连续．当0x时，有121,03(1),02xexxyxxx14(21),03(1),04xxexxyxxxx当0x时，由00()(0)(3)0limlimxxyxyxxxx92知函数()yyx在0x处的导数不存在，从而二阶导数也不存在．令0y得12x．于是点12x和点0x把定义域(,)分为三个子区间．当1(,)2x时，0y，故曲线是凸的；当1(,0)2x时，0y，故曲线是凹的；当(0,)x时，0y，故曲线是凸的．点21(,)2e和(0,0)是曲线的两个拐点．⑵由于3232(31)1(31)1dydtttdxdttt，