实变函数习题解答(1)

第一章习题解答1、证明A(BC)＝(AB)(AC)证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此A(BC)(AB)(AC)……………(1)设x(AB)(AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC)A(BC)……………(2)由(1)、(2)得，A(BC)＝(AB)(AC)。2、证明①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B②A(B－C)＝(AB)－(AC)③(A－B)－C＝A－(BC)④A－(B－C)＝(A－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AB证明：①A－(AB)＝AC(AB)＝A(CACB)＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)＝(ACB)＝A－B②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A(B－C)③(A－B)－C＝(ACB)CC＝AC(BC)＝A－(BC)④A－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)＝(ACB)(AC)＝(A－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)＝(AC)－(BD)84⑥A－(A－B)＝AC(ACB)＝A(CAB)＝(ACA)(AB)＝(AB)＝AB3、证明：(AB)－C＝(A－C)(B－C)A－(BC)＝(A－B)(A－C)证明：(AB)－C＝(AB)CC＝(ACC)(BCC)＝(A－C)(B－C)(A－B)(A－C)＝(ACB)(ACC)＝(AA)(CBCC)＝AC(BC)＝A－(BC)4、证明：sC(1iiA)＝1isCiA证明：设xsC(1iiA)，则x1iiA，于是，i、xiA，从而xCiA，所以，x1iCiA，所以，sC(1iiA)1isCiA。设x1isCiA，则i、xCiA，即xiA，于是，x1iiA，即xC(1iiA)，所以1iCiAC(1iiA)，由以上两步得sC(1iiA)=1isCiA5、证明：①(NA)－B＝N(A－B)②(NA)－B＝N(A－B)证明：①(NA)－B＝(NA)CB＝N(ACB)＝N(A－B)8586②(NA)－B＝(NA)CB=N(ACB)＝N(A－B)6、设{nA}是一列集合，作1B=1A，nB=nA-(11nkkA)n1。证明nB是一列互不相交的集，而且nk1kA=nk1kB，n=1，2，3，…。证明：设i≠j，不妨设ij，因为jBiA，iBjBiA[jA-(11jkkA)]=iA[jA(11jkCkA)]=iAjA[CiA(11jikkCkA)]=(iACiA)jA(11jikkCkA)=jA(11jikkkA)=∴iBjB=，{nB}互不相交。∵iBiA，∴nk1kA=nk1kB。另一方面，设xnk1kA，则存在最小的自然数i，使xiA，x11ikkA，∴xiA-11ikkA=iBnk1kB，∴nk1kAnk1kB∴nk1kA=nk1kB。7、设12nA=(0，n1)，nA2=(0，n)，n=1，2，…，求出集列{nA}的上限集和下限集。解：n。∵12nA=(0，n1)，nA2=(0，n)，∴12nAnA2。8788nmmA=nm(12mAmA2)=nmmA2=nm(0，m)=(0，∞)nlimnA=1nnmmA=1n(0，∞)=(0，∞)nmmA=nm(12mAmA2)=nm12mA=nm(0，m1)=∴nlimnA=1nnmnA=1n=。8、证明：nlimnA=1nnmmA证明：xnlimnAn，m≥n，有xmAn，xnmmAx1nnmmA，∴nlimnA=1nnmmA。9、作出一个(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1对应，并写出这一对应的解析表达式。解：y=tg2x，x(－1，1)，y(－∞，＋∞)。10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心O的连线交球面于M，过M作球面的切平面，过P点和球面上任一点N引直线，该直线与平面交于N，将N与N对应，P与M对应，则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。11、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。证明：由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。899012、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。证明：以A表示这个集合，nA表示n次有理系数多项式的全体，则A=0nnA。nA由n+1个独立记号，即n次多项式的n＋1个有理系数所决定，其中首项系数为异于0的有理数，其余系数可取一切有理数，因此，每个记号独立地跑遍一个可数集，所以，nA是可数集，A也是可数集。13、设A是平面上以有理点（坐标为有理数的点）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A是可数集。证明：A中任一元素由三个独立记号（a，b，r）所决定，其中（a，b）是圆心的坐标，r是圆的半径，a、b各自跑遍全体有理数，r跑遍大于0的有理数，而且它们都是可数集，故A是可数集。14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。证明：设)(xf是(－∞，＋∞)上的单调增加函数，其不连续点的全体记为E，设0xE，由数学分析知，0x必为第一类不连续点，即其左、右极限)0(0xf、)0(0xf必存在，且)0(0xf)0(0xf，这样，每个不连续点0x对应一个开区间()0(0xf，)0(0xf)，且这些开区间互不相交。由11题知，这些开区间最多有可数多个，所以，E最多是一个可数集。91