泛函和变分

第1章泛函和变分1.1引言以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题:一个足够光滑的连续函数12(,,...,)nyfxxx，其在区域nR内任何一点12(,,...,)Tnxxxx都可以作以下的Taylor展开21212()()()()(||||)(),,...,TTTTnffffoffffxxxxxxxxxDxxxx(1.1.1)22221121222212...()...nnnnfffxxxxxffffxxxxxDx函数在某一点有极值的必要条件是12,,...,0Tnffffxxx但是，我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题—泛函的极值问题(泛函简单地讲，就是函数的函数，详细见后面)。例1.1一个简单的变分问题:最短线问题图1.1最短线问题假设经过,AB两点距离最短的曲线方程为*()yyx(1.1.2)另有一任意的连续可导函数()x，()x满足两端固定的边界条件01()()0xx(1.1.3)显然()()yyxx依旧是过固定两点,AB的连续曲线，其对应的长度为102()1('')dxxLyx(1.1.4)当0,()yyx时()L取到极小值，也就是说0d()|0dL(1.1.5)把(1.1.4)代入(1.1.5),展开后有10111000110000222233222d()('')'|d|d1('')''''d|d1'1'1'''''''''dd1'1'1'0xxxxxxxxxxxxLyxyyyyxxyyyyyyyyxxyyy(1.1.6)由于(1.1.6)对于任意的()x都成立，根据变分引理(见2.2.2节),我们可以得到32''01'yy(1.1.7)意味着12yCxC(1.1.9)因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。下面我们来看几类比较典型的变分问题。例1.2最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A为坐标原点，水平为x轴，向下为y轴。曲线的方程为()yyx，A点坐标00(,)(0,0)xy,B点坐标11(,)xy。曲线上任意一点P时的速度为d2dsvgyt(1.1.10)222dd1(')dddd222xyysstxvgygygy(1.1.11)因此，重物沿该曲线从A点滑到B点所需要的总时间为1021(')[]dd2xxyTytxgy(1.1.12)[]Ty我们也称之为泛函。该曲线参数形式为1122(sin),(1cos)xCyC(1.1.13例1.3短程线问题短程线问题可以描述为：给定一个光滑曲面(,,)0xyz，在该曲面上有两个固定A和B，要求在曲面上找到一根连接该两点的最短曲线。记A和B的坐标分别为111(,,)xyz和222(,,)xyz，连接该两点的曲线方程为(),()yyxzzx(1.1.14)它们满足(,,)0xyz(1.1.15)那么该曲线的长度为2122''[,]1dxxLyzyzx(1.1.16)因此，短程线问题所对应的变分问题为：在连接A111(,,)xyz和B222(,,)xyz而且满足(,,)0xyz的光滑曲线()yyx，()zzx中，找到其中的一条，使得(1.1.16)中的泛函[,]Lyz取到极小值。和前面速降线问题中不同的是，这里的自变函数()yyx，()zzx不是自由的，它们受到约束条件(,,)0xyz的限制，因此短程线问题对所应的是个泛函的条件极值问题，其约束条件是代数关系。例1.4等周问题用参数表示的平面曲线方程为(),()xxsyys(1.1.17)参数s可以理解为曲线从起点的长度。如果曲线的长度为l,那么[0,]sl。由于曲线是封闭，所以有边界条件(0)(),(0)()xxlyyl(1.1.18)而该曲线的长度为220(')(')dllxys(1.1.19)该曲线所围成的面积为(根据Green公式)1212[,]dd(dd)('')dAxyxyxyyxxyyxs(1.1.20)因此,等周问题所对应的变分问题可以描述为:在所有满足(0)(),(0)()xxlyyl以及约束条件220(')(')dllxys的曲线中,找到其中一根使得(1.1.20)中[,]Axy取极大值。显然，等周变分问题是泛函的条件极值问题，其约束条件是个积分等式。例1.5最优控制问题状态方程为0()[(),(),],[,]ftttttttxfxu(1.1.21)其中nRx为状态向量,0()tx为初始状态,()ftx为终止状态,mRu为输入向量。要求寻找合适的()(,)ttugx，使得0[(),(),]dminfttJLttttxu(1.1.22)其中J是一个性能泛函。和上面几个问题不同的，这是一个带微分约束(1.1.21)的泛函极值问题.1.2泛函定义1.1记{()}Cyx是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数)(xy，都有一个数(在本讲义中全部为实数)与之相对应，我们记为)]([xyJ或者][yJ。这样我们说][yJ是定义在函数集合)}({xy上的一个泛函。简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。泛函的定义域是指泛函定义中的函数集合。如例1.2中最速降线中的泛函(1.1.12)0201(')[]dd2xyTytxgy，其定义域为1010011()(,),(),()CyyxCxxyxyyxy此外，在等周问题中泛函(1.1.31)1[,]('')d2Axyxyyxs中的定义域为1,(),()(0,),(0)(),(0)()CxyxsysClxxlyyl象短程线问题中的(1.1.26)、等周问题中的(1.1.30)、最优控制问题中的(1.1.32)，一般不被视为泛函定义域中对函数的限制，而被认为是一种外加的约束，这样的约束称为条件。以上定义还可以推广到依赖于多元函数或多个函数的泛函。举两个例子。{(,)(,)}Czxyxy是定义在区域上连续函数的集合，那么下式就定义了一个泛函2[]()ddJzzx,yxy如果1{(),(),[,]}CyxzxyzCab是定义在区间[[,]ab上的一阶连续可微函数对的集合，那么下式就定义了一个泛函22[,][()()]dbaJfgfxgxx当然0[()]()Jyxyx也可视为一种泛函；不过，以后提到的泛函主要是指具有上述积分形式的泛函。线性泛函对于泛函][J，如果对于泛函定义域中任意两个函数f和g以及任意两个实数a和b，始终成立][][][gbJfaJbgafJ那么称泛函][J为定义域上的线性泛函。1.3自变函数的变分定义1.2在同一泛函定义域上的两个函数)(xy、)(xm，若彼此任意接近，那么)(xm与)(xy之差()()()yxmxyx称为函数)(xy的变分。显然函数变分y也是关于x的函数，它和函数的增量y是有差别的。变分y反应了整个函数的变化，而函数增量y反应的是同一个函数由于自变量的取值不同所引起的变化。图2.1变分y和函数的增量y自变函数变分的一个重要性质下面我们来讨论函数变分的一个重要性质：求变分和求导数可以交换次序'''''()[()()]()()()ymxyxmxyxy(1.3.1)如果自变函数),(yxw是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序,就是说()()xwwx(1.3.2)ww)(,222222xyz(1.3.3)(),xyzijk(1.3.4)1.4泛函的变分对于一个足够光滑的函数，如果我们在某一点x附近作泰勒展开，212!()()'()()(||)fxxfxfxxfxxox那么其增量的线性部分d'()ffxx称为函数的一阶微分，而22d()ffxx称为函数的两阶微分。其中df是x的线性函数，而2df是x的两次函数。对于任意一个泛函][yJ,函数变分所引起的泛函增加量为][][yJyyJJ如果可以展开为212![,][,](||||)JLyyQyyoy(1.4.1)其中],[yyL是关于y的线性泛函，也就是说RCC21,],[],[],[22112211yyLCyyLCyCyCyL(1.4.2)而],[yyQ为y的两次泛函。那么，可以定义定义1.3泛函的一阶变分为],[yyLJ(1.4.3)而泛函的两阶变分为],[2yyQJ(1.4.4)我们看下面一个比较简单的泛函[](,,')dbaJyFxyyx如果给函数)(xy一个变分y，也就是说新的函数为)()()(xyxyxy，那么对应于新函数的泛函为[](,,')d(,,'')dbabaJyFxyyxFxyyyyx显然，泛函的变化量为[][][(,,'')(,,')]dbaJJyJyFxyyyyFxyyx假如)',,(yyxF是充分光滑的，那么根据多元函数Tayler展开公式，上式可以表示成'''''2''221[][()2()]...d2!...byyyyyyyyaJFyFyFyFyyFyxJJ其中'''''22''2[]d[()2()]dbyyabyyyyyyaJFyFyxJFyFyyFyx(1.4.5)分别是关于变分y及其导数'y的一次齐式和两次齐式。我们把J和J2分别称为泛函][yJ的一阶变分和两阶变分。在不引起混淆时，我们就把一阶变分称为泛函的变分。泛函变分的另一种求法对于任意给定的一个齐次函数)(x(当然该函数有一些其他诸如可微或者其他一些限制条件，具体视泛函的定义域而定)，也就是说它在边界上的值为零，那么对于任意小的一个实数)1(，显然)()()(xxyxy也在泛函的定义域内。那么221002!2[][][][]d[]d[]||...ddJJyJyJyJyJyJy如果更进一步，令)(x就是函数的变分y，那么从泛函变分的定义中就可以知道，上式的第一部分就是泛函的一阶变分J，而第一部分就是泛函的两阶变分J2。也就是说0222102!2d[]|dd[]|dJyJJyJ（1.4.6）1.5泛函变分的性质(1)2121)(FFFF(2)212121)(FFFFFF(3)FnFFnn1)((4)22212121)(FFFFFFF(5))()()(nnFF(6)(,,')d(,,')dbbaaFxyyxFxyyx12121(,,,...,,',',...,')d'd'nbbnniiaaiiiFFFxyyyyyyxyyxyy这表明，求泛函变分可以用类似求复合函数求微分的方式进行。下面我们来看两个例子：例1.6已知泛函222[]2(,,)d,(,,)uuuJuufxyzVuuxyzxyz求J。解∶2()(,,)d()()()2()(,,)duuuuuuJufxyzVxxyyzzuuuuuuufxyzVxxyyzz