泛函变分

变分理论与数值分析方法教案（第二章泛函与变分）蔡中义变分理论与数值分析方法第二章泛函与变分§2.1泛函与变分的概念§2.1.1泛函的概念x函数是反应数与数的对应关系，例如函数()yyx=，因变量的值是由自变量y所决定的。泛函（Functional）反应的是数与函数的依赖关系，其因变量的值是由一个函数，或几个函数()yyx=1()yx2()yx…的选值所确定。例如泛函，[()]JJyx=（2.1.1-1）()yx是自变函数，因变量的值由自变函数所决定，换句话说，泛函是函数的函数。J()yx例1连接平面上两点、00(,)Axy11(,)Bxy的曲线弧长（如图2.1.1-1）。设曲线的方程为，则微段弧长为()yx222()()1()dydLdxdydxdx=+=+曲线的总弧长为：1021()BxAxdyLdLddx==+∫∫x（2.1.1-2）显然，不同的曲线，将对应不同的弧长()yxL，即弧长L是曲线的泛函。()yx例2直梁弯曲的应变能（如图2.1.1-2）。梁的长度为l，高度为，截面弯曲惯性矩为hI，材料的弹性模量为E。图2.1.1-1yoxy=f1(x)B(x1,y1)y=f(x)A(x0,y0)1第二章泛函与变分取x方向的位移为u，方向的位移为（挠度）。设中性面的挠曲线方程为，其斜率为zw()wxdwdx，当挠度非常小时中性面的法向转角dwdxθ≈。dx段的应变能为2221()2dwdUEIdxdx=则总应变能为222001()2lldwUdUEIddx==∫∫xwx（2.1.1-3）对于不同的挠曲函数曲线，将对应不同的应变能U，即应变能UU()wx[()]=是挠曲函数的泛函。()wx一般地，一元自变函数的泛函：[()]JJyx=多元自变函数的泛函：12[(,,,)]nJJyxxx=L多个自变函数1()yx，2()yx，…，()nyx的泛函：12[(),(),,()]nJJyxyxyx=L一般依赖于多个多元自变函数的泛函可记为：11221212[(,,,),(,,,),,(,,,)nnn]nJJyxxxyxxxyxxx=LLLL§2.1.2变分的概念1．泛函中自变函数的变分【定义】如果自变函数由和与它非常接近的另外一个函数()yx1()yx之差，是一个微小的变化量，叫做自变函数的变分。记作()yx图2.1.1-2lx(u)y(w)w(x)2变分理论与数值分析方法1()()()yxyxyxδ=−（2.1.2-1）yδyδx的函数。。显然，变分是简记为yΔ的区别（如图2.1.2-1）：注意它和函数增量●变分yδ反映的是整个函数的改变，●增量反映的是同—函数由于自变量yΔ()yxx取不同值而产生的差异。由于1()yx和取自同—函数类，所以()yxyδ也属于此函数类，并具有这个函数类的特征（例如光滑度等）。但是由于1()yx和具有相同的边界条件，则()yx1()()yyxyxδ=−就只能满足齐次边界条件（即在边界上0yδ=）。2．泛函的变分“泛函”是函数这一概念的推广，“泛函的变分”则是“函数的微分”这一概念的推广。●函数的微分函数微分的定义：若自变量x有一增量，则函数也有一增量xΔ()yx()yxΔ，且可写成：()()()(yyxxyxAxxoxΔ=+Δ−=Δ+Δ))（2.1.2-2）其中是比oxΔ(xΔ高阶的无穷小量，其第一项为xΔ的线性部分。当||xΔ充分小时，（2.1.2-3）式的第一项就是函数的一阶微分（简称微分），即||0lim[()]'()xdyAxxyxdxΔ→=Δ='()yxxΔ既是Δ的线性部分，又是yyΔ的主要部分，所以函数的微分（一阶微分）就是函数增图2.1.2-1△xyxδyy1(x)y(x)△y3第二章泛函与变分量的线性主要部分。实际上，当||时：0xΔ→22()()1'()''()()2!12!yyxdxyxyxdxyxdxdydyΔ=+−=+=++LL+（2.1.2-3）其中：是函数的一阶微分、是函数的二阶微分…。2dydy●泛函变分的概念一般泛函都是积分形式，我们通过一个昀简单的泛函来说明泛函的变分。考虑泛函：10[()](,,')dxxJyxFxyyx=∫（2.1.2-4）给自变函数以变分()yxyδ，则泛函变为10[](,,'')xxdJyyFxyyyyδδ+=++∫xδ（2.1.2-5a）yδ的泛函增量为：相应于自变函数变分10[][][(,,'')(,,')]dxxJJyyJyFxyyyyFxyyxδδδΔ=+−=++−∫（2.1.2-5b）[()][()]JJyxyJyxδΔ=+−与函数的微分类似，泛函增量中的线性主要部分，称为泛函的一阶变分，记为Jδ2Jδ3Jδ[()]Jyxδ，简记为。同样可定义二阶变分、三阶变分。在不引起混淆时，也把一次变分简称为泛函的变分。x假设被积函数充分光滑，将(,,')Fxyy(,,'')Fxyyyyδδ++展成Taylor级数有（注意没有增量，而、的增量分别为y'yyδ'yδ）、2222222(,,'')1(,,')'[()2'(')]'2!''FxyyyyFFFFFFxyyyyyyyyyyyyyyδδδδδδδδ++=∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂L（2.1.2-6）由（2.1.2-6）式，函数的增量为：4变分理论与数值分析方法22222222(,,'')(,,')1'[()2'(')]'2!''12!FFxyyyyFxyyFFFFFyyyyyyyyyyyyFFδδδδδδδδδδΔ=++−∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂=++LL（2.1.2-7）参照（2.1.2-3）式，泛函（2.1.2-4）中被积函数的变分定义为：''FFFyyy被积函数的一阶变分：yδδδ∂∂=+∂∂（2.1.2-8a）2222222()2'(')''FFFFyyyyyyyδδδδ∂∂∂=++∂∂∂∂2yδ（2.1.2-8b）被积函数的二阶变分：由（2.1.2-6）式，泛函增量可表示成：110011002222222221dd2!1(')[()2'(')]'2!''12xxxxxxxxJFxFxFFFFFyydxyyyyxyyyyyyJJδδδδδδδδδδΔ=++∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂=++∫∫∫∫LLLd+（2.1.2-9）JδJΔyδ式中对应函数变分及其导数'yδyδ、'yδ的一次齐次式，是泛函增量的线性（与线性关系）主要部分。参照（2.1.2-3）式，泛函（2.1.2-4）式10[()](,,')dxxJyxFxyyx=∫的变分定义为：1100['xxxxFFJFdxyyyyδδδδ']dx∂∂==+∂∂∫∫（2.1.2-10a）一阶变分：二阶变分：1100222222222[()2'(')]d''xxxxFFFJFdxyyyyyyyyδδδδδδ∂∂∂==++∂∂∂∂∫∫x（2.1.2-10b）对于依赖于多个函数的泛函也可类似地给出它们的—阶变分、二次变分…。例如，当泛函为10[(),()](,,',,')xxJyxzxFxyyzzdx=∫（2.1.2-11）时其一阶变分为10['''xxFFFFJyyzyyzzδδδδδ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∫']dzx（2.1.2-12）变分在泛函研究中的作用与微分在函数研究中所起的作用极为相似。为进一步理解泛函与变分的概念，现就形式、性质、运算等几个方面将其与函数及微分的概念加以对照（如表2.1.2-1所示）：5第二章泛函与变分表2.1.2-1函数与泛函的对应关系函数与微分泛函与变分y(x)J[y(x)]函数泛函yJ因变量因变量xy(x)自变量自变函数δyx的增量Δxy(x)的变分δJdy函数的微分泛函的变分§2.1.3变分的计算泛函变分与函数的微分在形式上类似，其计算方法也相似：◆微分的运算法则，同样适用于变分（这里特指泛函中被积函数的变分），相当于把微分符号换成变分符号dδ。如，121()dyydydy+=+22121()FFFFδδδ+=+（2.1.3-1a），122112()dyyydyydy=+122112()FFFFFFδδδ=+（2.1.3-1b）1211222()yydyydydyy−=21211222()FFFFFFF2δδδ−=（2.1.3-1c），10[()](,,')dxxJyxFxyyx=∫的函数、为例，说明上述性质1(,,')Fxyy2(,,')Fxyy以泛函1212121212112212()()()'''''''FFFF'FFyyyFFFFyyyyyyyyFFFFyyyyyyyFFyyδδδδδδδδδδδδδ∂+∂++=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂=+◆自变函数的微分、求导与变分运算的次序可以调换，如：()'yy'δδ=()()dydyδδ=（2.1.3-2a），证11()'[()()]''()'()(')yyxyxyxyxyδδ=−=−=这就是说：自变函数变分的导数等于函数导数的变分，即自变函数求导与求变分这两种运算的顺序可以交换。如果自变函数是多元函数，则式中的求导应改为求偏导。将上面的性质推广，可得()()()nnyyδδ=()()()(nndydy)δδ=（2.1.3-2b），6变分理论与数值分析方法◆变分号可由积分号外移到积分号内，如1100(,,')(,,')xxxxJFxyydxFxyydxδδδ==∫∫（2.1.3-3）参看（2.1.2-9）（2.1.2-10），很容易得出上式。§2.2泛函极值问题及其求解§2.2.1泛函的极值问题对泛函求极值的问题在数学上即称为变分问题，其过程与函数求极大极小值的过程极为相似。●函数极值的必要条件0xx=()fx处达到极大或极小值，则在这点有。0=df如果函数在点200dfdf=⎧⎨⎩，极小值；极大值。200dfdf=⎧⎨⎩0xx=称为极值点。●泛函极值的必要条件0Jδ=0()fx0()ffx=【定理】如果泛函在[()]Jfx上必有。处达到极大或极小值，则在200JJδδ=⎧⎨⎩，极小值；极大值。200JJδδ=⎧⎨⎩0()ffx=称为泛函的极值函数（或极值曲线）。[()]Jfx0xx=()fx0df=在点上有极大值或极小值，则可根据在函数中，如果这个条件去寻找极值点0Jδ=0x0()fx。同理，在泛函中，如果在[()]Jfx上有极大值或极小值，也可以根据这个条件去寻找0()fx0()fx。换言之，变分计算的目的就是要把极值函数找出来。一般说来，函数求极值所得到的是一个数，而泛函变分得到的则是一个函数或者是一个微分方程加上边界条件。§2.2.2一维问题的欧拉（Euler）方程1.预备定理为了推导欧拉方程时的需要，在这里我们先叙述一个预备定理。()Φx是区间[,上的连续函数，如果对于任何满足]ab()()0abηη==【定理】设的连续函数()xη，恒有()()0baΦxxdxη=∫则在区间[,上有]ab()0Φx≡7第二章泛函与变分0xx=这个定理是不难证明的。假定在区间[,上一点]ab()0Φx≠处，，我们可以引出矛盾的结果来。事实上，因函数0x00[,xx]εε−+()Φx是连续的，它在点的邻域内不变号，既然函数)(xη0x00[,xx]εε−+是任意的，我们可以这样选取函数)(xη，它在点的邻域内不变号并且大于零，而在邻域外恒等于零，如图2.2.2-1所示。η(x)于是得到00()()()()0bxaxΦxxdxΦxxdxεεηη+−=≠∫∫这是因为乘积()()Φxxη在区间[,00]xxεε−+内不变号，而在区间外等于零的缘故。这样就引出了矛盾，从而可知必有：。()0Φx≡对于平面问题与空间问题，也可得到类似的结论。【定理】设Φ(,)xy是平面区域上的连续函数，而D(,)xyη是在的边界上为零的连续函数，如果D(,)(,)0DΦxyxydxdyη=∫∫成立，则在区域上Φ。D(,)0xy≡【定理】设(,,)Φxyz是空间区域上的连续函数，而D(,,)xyzη是在的边界上为零的连续函数，如果D(,,)(,,)0DΦxyzxyzdxdydzη=∫∫∫成立，则在区域上。D(,,)0