弹性力学习题(土木)

习题2-1设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证：qyxyxxyxxyo及0xy能满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，同时也满足位移单值条件，因而就是正确的解答。解：本问题属平面应力问题q（1）校核是否满足平衡微分方程0)0()(yxqyxyxy0)()0(yqx——平衡微分方程满足（2）校核是否满足相容方程)(2222yxyx0)()(2222qqyx——相容方程满足（3）校核是否满足边界条件Nxyoq（3）校核是否满足边界条件——边界条件取任意微段边界，其外法线方向余弦：coslsinmcosqXqlsinqYqm将应力分量：qyx及0xy代入边界条件公式：sxysxmlsysxyml0mqlqlXqml0qmY——应力边界条件满足（4）满足位移单值条件结论：qyx及0xy为该弹性体的正确解。习题2-2h1Pxyl矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y解：由材料力学理论求出：xyIPxx)12(3hI2242yhIPIbQSxy0y(1)将式(1)代入平衡微分方程：yxxyxyxyxy0yIPyIP000——满足平衡微分方程将式(1)代入相容方程：)(2222yxyx0)(2222IPxyyx——相容方程满足习题2-2h1Pxylx解：由材料力学理论求出：yIPxx)12(3hI2242yhIPIbQSxy0y(1)上、下边界条件：,02hyy02hyxy——显然满足左侧边界条件：220hhxxdy0022hhdy220hhxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP220hhxxydy0022hhydy——显然满足矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y习题2-2解：由材料力学理论求出：yIPxx)12(3hI2242yhIPIbQSxy0y(1)右侧边界条件：22hhlxxdydyyIPlhh22022hhlxxydydyyIPlhh222Pl22hhlxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP——显然满足h1PxylxPM=Pl矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y习题2-3试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：yVYxVX,yxVxVyxyyx22222,,),(yx其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为：试导出相应的相容方程。证明：当式（1）成立时，有：0xVyxxyx0yVyxyxy（1）（2）将式（2）代入，有：02323xVyxxVyx02323yVyVyxyx——式（2）满足平衡微分方程表明应力分量可用式（2）表示。)(2222yxyx习题2-3试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：yVYxVX,yxVxVyxyyx22222,,),(yx其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为：试导出相应的相容方程。（1）（2）将式（2）代入应力表示的相容方程：222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyxxV242yYxX)1(2222)1(yVxVV2)1()(2222yxyx222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyxxV242yYxXyxyx)1()(2222代入相容方程：有：V242V2)1(V24)1(V24)1(——平面应力情形对平面应变情形，将V24)11(V2)121(1习题2-4试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值都等于两主应力的平均值。证：以主应力方向截取应力单元体，如图所示。Oxy1122N任意斜截面的方向余弦：sin,cosml任意斜截面上的剪应力：)(12lmN)()21(411222l当22l时：221minmaxN当22l时，22m代入：2212mlN22222212212N补充题2-1图示楔形体，试写出其边界条件。y1tanyx左侧面：)tan(yxsin,cosml0,0YX0sincostantanyxxyyxx0sincostantanyxyyxxy右侧面：0xxy100xxy补充题2-2PxylPM=Pl试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。022Ndyhhlxx220hhxxydyQ22hhlxxydyM梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：PQPlM0N梁固定端的应力边界条件：xxyPlP补充题2-3试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。上边界：)0(y1qy0yx下边界：)tan(xyNsin)90cos(lcosmXmlxyxYmlyyx0X2qY代入边界条件公式，有0cossinxyx2cossinqyyx右边界：)(lx梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：0N2cos22122lqlqMlqlqQ12cos补充2-3试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。N右边界：)(lx梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：0N2cos22122lqlqMlqlqQ12cos由圣维南原理，有0tan0lxdyMydylxtan0Qdylxytan02cos22122lqlqlqlq12cosxxy补充题2-5下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。;,,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：（1）验证是否满足平衡微分方程；XyxxyxYyxyxy011CC0044CC0——满足平衡微分方程验证是否满足相容方程；yYxXyxyx)1()(2222——显然满足结论：所给应力分量为一组可能的应力分量。补充题2-5下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。;,,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：（2）验证是否满足应变协调方程：2222yxxybyax22yxxy2Cy42222yxxyyxxy2要使下式成立：须有：Cybyax422上式成立的条件：Cba2,0结论：（1）仅当式（1）成立时，所给应变分量为可能的。解：（a）补充题2-6试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)(a)左侧：02hxx2hxxyq右侧：02hxx2hxxyq上侧：y=0dxhhyy220dxhhyxy2201F0xdxhhyy2200下侧：y=ldxhhlyy22dxhhlyxy221Fql2xdxhhlyy22lF1qlN21FQlFM1反力：NQM2hx2hx(b)解：（b）补充题2-6试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)左侧：02hxx2hxxyq右侧：02hxx2hxxy0上侧：y=0dxhhyy220dxhhyxy220cos1Fsin1Fxdxhhyy220sin41hF下侧：y=lNcos1FQM反力：NQMsin1Fql4sin1hFlFcos12hql2hx2hx22hhlyydxdxhhlyxy22cos1FqlFsin1xdxhhlyy22解：（b）补充题2-6试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)下侧：y=lqlFNsin1cos1FQ2cos4sin11hqllFhFM反力：(b)NQM2cos4sin11hqllFhF补充题2-6试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理)(c)解：（c）左侧：x=000xx0xxy0右侧：x=h0hxxhxxyq上侧：y=0hyydx00hyxydx0001Fxdxhyy00aF1下侧：y=lN0QM反力：NQM1Fql1(/2)Fah3/2qlhdxhlyy0dxhlyxy00qlF1xdxhlyy0hqlaF1补充题2-6试写出图示构件的边界条件。解：（d）上侧：02hyy2hyxy0下侧：02hyy2hyxy0右侧：x=l22hhlxxdy22hhlxxydyF0ydyhhlxx22M左侧：x=0NFQ1M反力：0lF1Mdyhhxx220dyhhxxy220F0ydyhhxx220MlF12hy2hy(d)NQ