结构力学图乘法详述

1二、结构位移计算的一般公式iids)QNM(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和：ds)QNM(d如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)QNM(若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(2kkcRds)QNM(适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。3三、位移计算的一般步骤:1c2c1t2tKK11R2R实际变形状态虚力状态kkcRds)QNM((1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力kR.Q.N.M表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kR.Q.N.M4§6-3荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。ds)QNM(重点在于解决荷载作用下应变的表达式。、、一、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAQkEANEIMPPPk--为截面形状系数1.29101AA(3)荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP5二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架dsEIMMP（2）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3）拱dsEANNdsEIMMPP6Pl/2l/2EIABx1x2例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl1627§6-5图乘法位移计算举例kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01w×xtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。BAtgxdEIwdω8⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点9⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112ql2/2MMPMPP=1lM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。10PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65×llEIyC22210××w5Pl/6？？11⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）3264912S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649（4）236913＝labdch+bah232dchl()226bcadbdaclSb)非标准抛物线乘直线形E=3.3×1010N/m2I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4折减抗弯刚度0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m14折减抗弯刚度0.85EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MPM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3()cmm2.01026.03.534.0555533.02206465.313y3ω2y22202.2200211w533.08.0321y)(85.01332211yyyEICwww5552.2378322w4.08.0212y3.538.0200313w6.08.0433y15P=111ly1y2y3M23ly3221yly12832323qllqlw42212321qllqlww8321232432414222EIqllqllqllqlEI()1332211MyyyEIN0N↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=0900193434832101222122423lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122××PNEAqlEAlqlEAlNN16求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()EI-756×××3322318××××EI643636311×××2639632(××××××EI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN6m3m3mABEI常数99999()bcadbdacl226174kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1MkN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1EIqllqllllqlEIBV241128323223211422ql2/83ql2/2MPlM求B点竖向位移。()5.04181425.08264()5.085.0122641EIB75.04432EI320185m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020AHEI1125505610125502310235254121012525231012101010131012102010231031875.EI1594102.m求A点水平位移。19P=1MPql2/2ll/2AB2EIEIl/2M求B点的竖向位移。EIql256174lllqlEI25.023232212lqllqllqllqllEI8222822265.0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y021例：试求等截面简支梁C截面的转角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51qllqll125853225252122lqlEIC2183212EIql100333M22作业•5-18，5-202332/2ql例.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyccw8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql24iM2/lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyccw8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql例.试求图示结构B点竖向位移.解:sEIMMPBydEIycwPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIllM图21EIqlqllEIB32241]21)8132[(1（）PM图281qlBAq1例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角B解:例1.已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移。CD三、应用举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCDw解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图例2.已知EI为常数，求铰C两侧截面相对转角。C三、应用举例解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l/11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCDw4/2ql4/2ql例3.已知EI为常数，求A点竖向位移。A三、应用举例)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCDw解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/lAlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABYw图示结构EI为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。iMMP练习11Pll11lliM0EIycABXw0EIycABw对称弯矩图反对称弯矩图对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.1111iM作变形草图PPPl1111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：求B点水平位移