实变函数习题解答(2)

第二章习题解答1、证明0PE的充要条件是对任意含有0P的邻域U(P，)（不一定以0P为中心）中，恒有异于0P的点1P属于E（事实上，这样的1P还有无穷多个）。而0P0E的充要条件则是有含0P的邻域U(P，)（同样，不一定以0P为中心）存在，使U(P，)E。证明：（1）充分性，用反证法，若0PE，则0P的某一邻域U(0P，0)中至多有有限个异于0P的点1X，2X，…，nX属于E，令ni1mind(0P，ix)=，在U(0P，)中不含异于0P的点属于E，这与条件矛盾。必要性，设U(P，)是任意一个含有0P的邻域，则d(0P，E)，令1=-d(0P，P)0，则U(0P，1)U(P，)。因为0PE，所以，在U(0P，1)中含于无穷多个属于E的点，其中必有异于0P的点1P，即U(P，)中有异于0P的点1P。（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有0P的邻域U(P，)E，则d(0P，P)，令1=-d(0P，P)，则U(0P，1)U(P，)，从而U(0P，1)E，故0P0E。2、设nR=R是全体实数，1E是[0，1]上的全部有理点，求1E，01E，1E。解：1E=[0，1]，01E=，1E=[0，1]。3、设nR=2R是普通的xoy平面，2E={(x，y)|2x+2y1}，求2E，02E，2E。解：2E={(x，y)|2x+2y≤1}，02E={(x，y)|2x+2y1}，2E={(x，y)|2x+2y≤1}。4、设nR=2R是普通的xoy平面，3E是函数y=0001sinxxx当当的图形上的点作成的集合，求3E，03E。解：3E={(x，y)|x≠0，y=sinx1}{(0，y)|-1≤y≤1}96979803E=5、在2R中看第2题的1E，01E，1E各是由哪些点构成的。解：1E={(x，0)|0≤x≤1}01E=1E=1E6、证明点集F为闭集的充要条件是F＝F。证明：充分性，若F＝F，则FF＝F，故FF，即F为闭集。必要性，若F为闭集，则FF，所以FF＝F，即F＝F。7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是闭集，CF是开集，所以G－F＝GCF是开集，F－G＝FCG是闭集。8、设f(x)是（－∞，＋∞）上的实值连续函数，则对于任何常数a，E＝{x|f(x)a}是开集，而1E＝{x|f(x)≥a}是闭集。证明：若E＝{x|f(x)a}＝，则E是开集，若E≠，0xE，有f(0x)a，因为f(x)在0x连续，所以0，当xU(0x，)时，有f(x)a，即U(0x，)E，所以0x是E的内点，故E是开集。同理可证{x|f(x)a}是开集，而1E＝{x|f(x)≥a}是{x|f(x)a}的余集，所以1E是闭集。9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集。证明：设F为闭集，令nG＝{x|d(x，F)n1}，则nG是开集。事实上，0xnG，有d(0x，F)n1，即Fyinfd(0x，y)n1，所以0yF，使d(0x，0y)＝n1，令ε＝n1－，xU(0x，ε)，有d(0x，x)ε，d(x，0y)≤d(0x，x)＋d(0x，0y)ε＋＝n1，于是d(x，F)＝Fyinfd(x，y)≤d(x，0y)n1，所以xnG，U(0x，ε)nG，故nG是开集。99100以下证明F＝1nnG。显然FnG(n＝1，2，…)，所以F1nnG。x1nnG，有xnG(n＝1，2，…)、d(x，F)n1，令n→∞得，d(x，F)＝0，所以xF或xF。因为F是闭集。所以FF，故xF。于是1nnGF，所以F＝1nnG。设G为开集，则CG为闭集，所以存在开集nG，使CG＝1nnG，而G＝C(CG)＝C(1nnG)＝1nCnG，CnG为闭集，即G可表示为可数个闭集的和集。10、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一完备集。证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位小数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第n位小数用到数字7的小数是(0.1a2a…1na7，0.1a2a…1na8)（其中1a，2a，1na是0，1，2，…，9取完各种可能的n－1个数）记这些开区间的全体为1nnA，设[0，1]上不用数字7表示的小数的全体为E，则E＝C[(1nnA)∪(－∞，0)∪(1，＋∞)]而nA，(－∞，0)，(1，＋∞)是可数个互不相交且无公共端点的开区间，所以E是完备集。11、证明f(x)为[a，b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数C，集E＝{x|f(x)≥C}，与1E＝{x|f(x)≤C}都是闭集。101102证明：若f(x)为[a，b]上的连续函数，用与第8题相同的方法可证明E和1E都是闭集。设E、1E为闭集，若f(x)在0x点不连续，则nx，使nx→0x，而nlimf(nx)≠f(0x)，因而，00，nkx使|f(nkx)－f(0x)|≥0(k＝1，2，…)即f(nkx)≥f(0x)＋0或f(nkx)≤f(0x)－0，若f(nkx)≥f(0x)＋0，令C＝f(nkx)＋0，则nkxE＝{x|f(x)≥C}，因为nkx→0x，所以0xE，而f(0x)f(0x)＋0＝C，所以0xE，与E为闭集矛盾；若f(nkx)≤f(0x)－0，则可导出与1E为闭集矛盾。12、证明§2定理5。定理5：设E≠，E≠nR，则E至少有一界点（即E≠）。证明：因为E≠，E≠nR，所以存在0PE，1PE，设0P＝(1a，2a，…，na)，1P＝(1b，2b，…，nb)，令tP＝(t1b＋(1－t)1a，t2b＋(1－t)2a，…，tnb＋(1－t)na)(0≤t≤1)，0t＝sup{t|tPE}。以下证明0tPE。（1）若0tPE，则0t≠1（否则0tP＝1PE）当t[0，1]，满足0tt1时,tPE。于是，对任意n，存在nt，满足0tnt1，nt→0t，使ntPE，显然有ntP→0tP，所以0tPE。（2）若0tPE，则0t≠0，存在nt，0nt0t，nt→0t，ntPE，同样有0tPE。103104