2016届高二年级抛物线基础练习题及答案

1．如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1,0）B．（2,0）C．（3,0）D．（－1,0）2．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2-x-2y-=0B．x2+y2+x-2y+1=0C．x2+y2-x-2y+1=0D．x2+y2-x-2y+=03．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A．mB．2mC．4.5mD．9m5．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=-2xB．y2=-4xC．y2=2xD．y2=-4x或y2=-36x6．过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8B．10C．6D．47．过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条8．过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（）A．2aB．C．4aD．9．(2012·西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()．A．4B．6C．8D．12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋p2＝xP＋2＝4＋2＝6.答案B10.(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，41412xy042yx41,21)49,23(66qp11a21a4则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.74解析设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.答案C11.(2011·济南模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()．A.172B．3C.5D.92解析由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然，当P、F、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于0－122＋2－02＝172.答案A12.已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为()．A．－33B．±33C．－3D．±3解析依题意，得F0，p2，准线为y＝－p2，过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p，故∠MFQ＝30°，即直线MF的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33.答案B13.[2014·辽宁卷]已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－1213．C[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－p2，且点A(－2，3)在准线上，故－p2＝－2，p＝4，y2＝8x，焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝3－0－2－2＝－34.14.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．7314．C15．抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．316．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为17.(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．18.(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析17.点P在第三象限．①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)．解得p＝12.∴抛物线方程为x2＝－y.综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.18.抛物线的焦点F的坐标为p2，0，则线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案(1)y2＝－8x或x2＝－y(2)32418.已知抛物线xy22的焦点为F，定点A（3，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（（2，2））三、解答题（本大题共6小题，共76分）19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）20．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)14922yxxyBAO21.设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：OA→·OB→是一个定值．(1)解∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1，y2＝4x得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.∴|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·36－4＝8.(2)证明设直线L的方程为x＝ky＋1，由x＝ky＋1，y2＝4x得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)．∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴OA→·OB→是一个定值．22.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长．解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为),(11yx、),(22yx，则1212pxy，2222pxy又|OA|＝|OB|，所以22222121yxyx即22212122pxxpxx0)(2)(212221xxpxx0)](2)[(2121xxpxx∵02,0,021pxx，∴21xx．由此可得||||21yy，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以3330tan011xy所以pypxy3212111，pyAB342||1．23.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15，求抛物线的方程．（xy122或xy42）24.已知直线bxy与抛物线pxy220p相交于A、B两点，若OBOA，（O为坐标原点）且52AOBS，求抛物线的方程．（xy22）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678答案ADABBACC二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．216．三、解答题（本大题共6题，共76分）19．(12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为，20．(14分)[解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为，其中分别为A、B的横坐标，．所以，．由，得①②联立①②解得．将其代入①式并由p0解得，或．xy542)0(22ppyx0,2p5)23(6222pmpm462pm462pmyx8262的值为m)0,(),0(22yxxxppxyBABAxx,MNp)0,2(),0,2(pNpM17AM3AN172)2(2AApxpx92)2(2AApxpxpxA414Axp22Axp因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去．∴p=4，．由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．Axp222Axp1Ax42pBNxB)0,41(82yxxy