第3讲--弹性问题有限元方法

北京航空航天大学第3讲弹性问题的有限元方法北京航空航天大学3.1弹性问题变分原理3.2连续体弹性问题的有限元求解过程平面问题(三角形单元、四边形单元)轴对称问题三维问题（四面体单元、六面体单元）3.3有限元分析中若干问题的探讨位移函数的构造要求单元形状函数的性质刚度矩阵（单元、整体）的特点位移边界条件的处理位移单元解的下限性第3讲弹性问题的有限元方法北京航空航天大学势能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力，称为系统在这一位置的势能。势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势位置，又称为势能零点。保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。3.1弹性问题变分原理保守力做功与势能增量的关系：V=–W北京航空航天大学弹性势能弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。1()2xxyyzzxyxyyzyzxzxzUdV012ijijdVUdVijijxzxzyzyzxyxyzzyyxxU21)(210单位体积的应变能（应变比能）：北京航空航天大学微元变形能（正应变）111()()222xxxxdUFudydzdxdVΔuF北京航空航天大学外力做功ib()()pxyzxyzSWbubvbwdVpupvpwdApiiiiSWbudVpudAip单位体积力面力北京航空航天大学弹性体系统的总势能II＝U-WU－弹性势能或变形(应变)能W－外力功对于保守力场作用下的弹性体系统总势能：北京航空航天大学弹性体变分原理—最小势能原理弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势能取最小值。（证明从略）II＝U-WII＝0真实位移总势能1II21[]2pTTpijijiiiiSTSdVbudVpudAdVdVdAσεubup北京航空航天大学最小势能原理的等价性1II2pijijiiiiSdVbudVpudA1II2pijklijkliiiiSDdVbudVpudAppijiijiijklijkliiiiSijijiiiiSuuDdVbudVpudAdVbudVpudA北京航空航天大学分部积分,,,,,,12()ijijijijjiijijijijijjiijijijjiSdVuudVudVudVudVuldAudVpuSSS说明：满足位移边界条件：0iu,pijijijijijjiSdVuldAudV高斯定理pijijijijSSuldAuldA0oniuuS北京航空航天大学平衡方程力边界条件等价于,,[][]ppppijijiiiiSijijijjiiiiiSSijjiiijjiiSdVbudVpudAuldAudVbudVpudAbudVlpudA,[][]0pijjiiijjiiSbudVlpudA北京航空航天大学以上证明过程说明：总可以找到满足位移边界条件的试函数(许可位移场)，在满足几何方程和物理方程的前提下，其结果可以精确满足所剩下的平衡方程和力边界条件。实际上，选择的许可位移场有相当的局限性和盲目性。一般很难将真正精确的位移场包含在许可位移场中。最小势能原理在许可位移场中求出最好的一组解。北京航空航天大学虚功原理—关于虚位移原理外力作用下处于平衡状态的弹性体，产生约束许可的微小虚位移（并同时在弹性体内产生虚应变），外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体内各点的应力在相应的虚应变上所作的虚功。弹性体平衡We=Wi北京航空航天大学Wi=dVxzxzyzyzxyxyzzyyxx)(We=dAwpvpupdVwbvbubzySxzyxp)()(dAupdVubdViSiiiijijpWe=Wi弹性问题中等价于最小势能原理！北京航空航天大学比较：虚功原理和能量变分原理虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于一切非线性力学问题。最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非常方便。能量变分原理方法可以很方便的扩展到结构位移场以外的不含非线性的领域，如求解热传导、电磁场、流体动力学等问题。北京航空航天大学关于集中力的说明1II2pijijiiiiiiSUWdVbudVpudAPu1II2pijijiiiiSUWdVbudVpudA体积力分布面力集中力单独考虑集中力外力载荷北京航空航天大学3.2连续体弹性问题的有限元求解过程首先看一个简单的平面问题：p材料：低碳钢体力：重力（密度）面力：p=1N/mm2厚度：t等腰直角三角形腰长:l=20mm求：顶点处的位移？北京航空航天大学平面问题的有限元求解过程1.几何离散：三角形单元或四边形单元三角形单元——平面问题中最简单的单元2.单元特征分析构造位移函数单元应变能单元外力功（单元等效节点力）3.单元集成：系统的总势能4.变分处理：系统的平衡方程（组）5.应用位移边界条件求出节点位移6.由节点位移求出单元的应变、应力北京航空航天大学Step1.几何离散——采用3节点三角形单元662211vuvuvuq整体节点位移列阵p体力：重力（密度）厚度：t0pp表面力单位体积力0gb112266xyxyxyPPPPPPP整体等效节点力列阵北京航空航天大学Step2.单元分析——构造单元位移函数位移函数（模式）是指单元内位移分布状态，事先并不知道，合理选择一种函数来逼近这种分布是有限元分析计算过程中关键性的一环。在实际应用中普遍采用的是多项式函数，这是因为多项式函数的数学运算（微分和积分）比较方便，而且所有光滑函数的局部都可以用多项式来逼近。关于多项式的项数和阶次，要根据单元的节点自由度数和有关解的收敛性要求来确定。对于平面问题，位移函数如下：2212345622123456uxyxyxyvxyxyxy北京航空航天大学123123uxyvxy112131212232312333uxyuxyuxy构造位移函数：对u利用节点条件：1i2j3m编号对应关系：(局部整体)先采用局部编号，最后换成整体北京航空航天大学111122223333111uxyuxyuxy1112233uuuT112233111xyxyxyTTTT*1A2TA:三角形面积*TT的伴随矩阵北京航空航天大学T23322332*3113311312211221xyxyyyxxxyxyyyxxxyxyyyxxTT111123*222123333123abcaaaabcbbbabccccTijmmjijmimjaxyxybyycxx北京航空航天大学11231212323123312aaaubbbuAcccu11231212323123312aaavbbbvAcccv同理可得：因此：1111222233331111222233331[()()()]21[()()()]2uabxcyuabxcyuabxcyuAvabxcyvabxcyvabxcyvA北京航空航天大学)(21ycxbaANiiii111232123233000000uvNNNuuNNNvvuv(,)(,)exyxyuNqN—单元形状函数矩阵qe—单元节点位移矩阵北京航空航天大学0(,)(,)0(,)(,)(,)(,)xeeyxyxuxyxyxyxyxyvxyyyxεuNqBq应变矩阵1231230000(,)[]0000xNNNxyNNNyyxBNStep2.单元分析——应变北京航空航天大学1231231231122330001(,)0002bbbxycccAcbcbcbBBBB312112233112233000111000222bbbcccAAAcbcbcbBBB北京航空航天大学210(,)10(,)11-002xxyyxyxyExyxyσDε平面应力：Step2.单元分析——应力(,)(,)(,)(,)eexyxyxyxyσDεDBqSq123123(,)xySDBDBBBSSS22(1)1-1-22iiiiiiiibcEbcAcbSDB应力矩阵平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。北京航空航天大学单元应变能：111222TTTeeeeSUdVdVtdxdyσεεDεεDε111222TTTeeeeTeeTeeeeSSUtdxdytdxdyqBDBqqBDBqqKqStep3.单元分析——单元势能111213212223313233eeeeeTTeeeSeeetdxdytAKKKKBDBBDBKKKKKK单元刚度矩阵北京航空航天大学21122114(1)22rsrsrsrseTrsrsrsrsrsrsbbccbccbEtKtAAbccbccbbBDB(,1,2,3)rs北京航空航天大学TTTTTTeeeeppeeeSSWdVdAdVdAubupqNbqNpTTTTTTeeeeppeeeSSlWdVdAtdxdytdlqNbNpqNbNpTTTeepeeeeSlWtdxdytdlqPPNbNp单元等效节点力列阵单元外力功：北京航空航天大学KqqTeeUU2141eeTeeUqKq21扩充叠加12TTUWqKqqP41eTeWWqPTeeeWqP扩充叠加Step4.单元集成——系统势能北京航空航天大学关于单元刚度矩阵的扩充叠加12310000000000000001000200eeemmmimjeTnneeeimiiijeejmjiU