带电粒子在磁场中的运动专题

带电粒子在磁场中的运动一、粒子做匀速圆周运动相关知识1．带电粒子在匀强磁场中运动，其圆心的确定方法(1)圆心在入射点和出射点所受洛伦兹力作用线的交点上，即线速度垂线的交点上．(2)圆心在入射点和出射点连线构成的弦的中垂线上，如图3－1－5所示．图3－1－52、几个角度关系•（1）、圆心角等于偏向角•（2）、圆心角等于弦切角的二倍•（3）、偏向角等于圆心角3．带电粒子在不同边界磁场中的运动情况(1)直线边界(进出磁场具有对称性)，如图3－1－6所示．图3－1－6(2)平行边界(存在临界条件，即轨迹与边界相切时粒子恰好不射出边界)，如图3－1－7所示．图3－1－7(3)圆形边界（1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．（2）当轨迹半径r大于磁场区域半径R时，从圆形磁场区域的某一直径一段进入，从另一端飞出时，在磁场中运动时间最长。图3－1－8（3）当轨迹半径r等于磁场区域半径R时，存在两条特殊规律.圆半径等于轨迹圆半径,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行,如图甲所示.规律一:带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,如果磁场规律二:平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出磁场,如图乙所示.甲乙•二．分析带电粒子在磁场中运动的基本步骤•2．体会熟记三个结论•(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．•(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．•(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等．三、带电粒子在有界磁场中的思维方式高考中带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题主要以计算题的形式出现,重点考查带电粒子在双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场和三角形边界磁场中运动的临界问题.该问题的考查可分为已知磁场边界的临界问题和根据条件确定磁场边界的临界问题.可利用两种动态圆模型分析求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题.甲模型-----缩放圆：如图甲所示,一束带正电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v的方向相同,大小不同,则粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上,图甲速度增大时,轨道半径随着增大,所有粒子的轨迹组成一组动态的膨胀内切圆.乙模型二—旋转圆：如图乙所示,一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v大小相同,方向不同,则所有粒子运动的轨道半径相同,但不同粒子的圆心位置不同,其共同规律是:所有粒子的圆心都在以射点为圆心、以轨道半径为半径的圆上,从而可以找出动态圆的圆心轨迹.这样通过旋转圆就可找出相关的临界条件.【预测7】如图3－6－12所示，在空间中存在磁感应强度B＝4×10－3T，垂直纸面向里、宽度为d＝0.1m的有界匀强磁场．一比荷大小为53×107C·kg－1的粒子自下边界的P点处以速度v＝2×104m/s，沿与下边界成30°角的方向垂直射入磁场，不计粒子重力，则粒子在磁场中运动的时间为()．图3－6－12例题1A．3π18×10－5sB．2π18×10－5sC．3π9×10－5sD．2π9×10－5s解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB＝2π53×107×4×10－3s＝3π3×10－5s．若粒子带正电，由左手定则判断可知，它将在磁场中逆时针旋转，轨迹如图中①所示，由弦切角和圆心角之间的关系可知，此时圆弧所对的圆心角为60°，因此粒子在磁场中运动的时间为周期的16，即t1＝T6＝3π18×10－5s，选项A正确，B错误；若粒子带负电，由左手定则判断可知，它将在磁场中顺时针旋转，轨迹如图中②所示，此时粒子将会从磁场的上边界射出磁场．设轨道半径为R，圆心O距磁场下边界的距离为L，由几何关系得L＝Rcos30°＝mvqBcos30°＝2×10453×107×4×10－3×32m＝0.05m，而磁场的宽度为0.1m，因此圆心O距磁场上边界的距离也是0.05m，由对称性判断得知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为120°，运动时间t2＝T3＝3π9×10－5s，选项C正确，D错误．答案AC【预测8】如图3－6－13所示，等腰直角三角形OPQ，直角边OP、OQ长度均为L，直角平面内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在PQ边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直PQ边发射出一束具有相同质量、电荷量和速度v的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为：qm＝2vBL，求：例题2•图3－6－13•(1)粒子在磁场中运动的半径；•(2)粒子能在磁场中运动的最长时间．•(3)粒子从OQ边射出的区域长度．解析(1)设粒子运动半径为r，由qvB＝mv2r，得r＝L2.(2)粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中最大能做半圆弧运动，所以粒子能在磁场中运动的最长时间t＝πrv，解得t＝πL2v(3)如图所示，当粒子水平打到OQ边的B点时，该位置最高．BQ即为粒子从OQ边射出的区域的范围．由图可知，BO′＝r＝L2，∠Q＝45°，所以BQ＝2r＝22L，即粒子从OQ边射出的区域长度为2L2.答案(1)L2(2)πL2v(3)22L 如图甲所示,质量m=8.0×10-25kg,电荷量q=1.6×10-15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内,且在与x方向夹角大于等于30°的范围内,粒子射入时的速度方向不同,但大小均为v0=2.0×107m/s.现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T,若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变.(π=3.14)求:例题3(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示).(1)粒子从y轴穿过的范围.(2)荧光屏上光斑的长度.(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差.甲【解析】设粒子在磁场中运动的半径为R,由牛顿第二定律得:qv0B=m ,即R= 解得R=0.1m当把荧光屏MN向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变,说明电子出射方向平行,都沿-x方向,所加磁场为圆形,半径为R=0.1m.(1)如图乙所示,初速度沿y轴正方向的粒子直接过y轴速度方向与x方向成30°的粒子,转过的圆心角∠OO2B为150°,则∠OO2A=120°粒子从y轴穿过的范围为0~ R,即0~0.17m.(2)初速度沿y轴正方向的粒子,yC=R20vR0mvBq3由(1)知∠O2OA=θ=30°yB=R+Rcosθ乙【答案】(1)粒子从y轴穿过的范围为0~0.17m(2)0.09m(3)7.7×10-9s(4)如图乙所示点评求解本题时关键要注意如下两点:(1)正确理解“当把荧光屏MN向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变”的含意是粒子经过磁场以后变为平行于x轴,并均沿x轴的负方向.(2)要熟练掌握一个推论:带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,如果磁场圆半径等于轨迹圆半径,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行.•【典例4】如8-2-13所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．图8-2-13•(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？•(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝3r3，又qv1B＝mv21R1得v1＝3Bqr3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2r－R2)2＝R22＋r2可得R2＝3r4，又qv2B＝mv22R2，可得v2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m.答案(1)3Bqr3m(2)3Bqr4m（1）R=rtan30甲例题5.(2012年重庆模拟)如图甲所示,有一个正方形的匀强磁场区域abcd,e是ad的中点,f是cd的中点.如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子恰好从e点射出,则 ()A.如果粒子的速度增大为原来的二倍,粒子将从d点射出B.如果粒子的速度增大为原来的三倍,粒子将从f点射出C.如果粒子的速度不变,磁场的磁感应强度变为原来的二倍,粒子将从d点射出D.只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时,从f点射出所用的时间最短乙【解析】作出示意图如图乙所示,根据几何关系可以看出,当粒子从d点射出时,轨道半径增大为原来的二倍,由半径公式R= 可知,速度也增大为原来的二倍,选项A正确、C错误;当粒子的速度增大为原来的四倍时,才会从f点射出,选项B错误;据粒子的周期公式T= ,可见粒子的周期与速度无关,在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角,所以从e、d射出时所用时间相等,从f点射出时所用时间最短.【答案】ADmvqB2mqB甲例题6.如图甲所示,在xOy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区,磁场方向垂直xOy平面向里,边界分别平行于x轴和y轴.一电荷量为e、质量为m的电子,从坐标原点O以速度v0射入第二象限,速度向与y轴正方向成45°角,经过磁场偏转后,通过P(0,a)点,速度方向垂直于y轴,不计电子的重力.(1)若磁场的磁感应强度大小为B0,求电子在磁场中运动的时间t.(2)为使电子完成上述运动,求磁感应强度的大小应满足的条件(3)若电子到达y轴上P点时,撤去矩形匀强磁场,同时在y轴右侧加方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B1,在y轴左侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场,电子在第(k+1)次从左向右经过y轴(经过P点为第1次)时恰好通过坐标原点.求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子从P点到坐标原点的运动时间t.乙【解析】(1)如图乙所示,电子在磁场中转过的角度θ= 运动周期T= ,t= 3402meBT2联立解得t= .03m4eB(2)设磁感应强度最小值为Bmin,对应的最大回旋半径为R,圆心为O1,根据洛伦兹力公式和向心力公式可得:ev0Bmin=m 由几何关系可得;R+ R=aB≥ 20vR2丙(3)设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r1和r2,根据洛伦兹力公式和向心力公式可得:ev0B1=m ev0B2=m 201vr202vr0(21)mvea【答案】(1) (2)B≥ (3)  - 03m4eB0(21)mvea010122kmvBkmvaeB12kmeB0a2v由图丙的几何关系可知:2k(r1-r2)=a联立解得:B2= 设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T1和T2,则有T1= ,T2= t= 联立解得:t= -.010122kmvBkmvaeB12meB22meB12()2kTT12kmeB0a2v四、带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析一、磁场范围为圆形例1一质量为m、带电量q为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；•（3）b点的坐标。•如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为R，外圆半径为磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为。t=0时一个质量为m，带-q电量的离子（不计重力），从内圆上的A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场。求：(1)离子速度大小；(2)离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，从t=0开始经多长时间第一次回到A点；(3)从t=0开始到离