1.2.1函数概念

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数1、初中学习的函数概念是什么？)0(kkxy正比例函数：)0(kxky反比例函数：)0(kbkxy一次函数：)0(2acbxaxy二次函数：2、请问：我们在初中学过哪些函数？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此，需要从新的高度认识函数。1yxxy2是函数吗？xy是同一函数吗？与)(Rx3、利用初中函数定义能解决下列问题：归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作f:A→B.注：这种对应关系的表示具有多样性，如：表达式、图象、表格设A、B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。其中：x叫做自变量，x构成的集合A叫做函数的定义域与x的值相对应的y的值叫做函数值，如f(a)，函数值的集合{f(x)|x∈A}={y|y=f(x),x∈A}叫做函数的值域。注：函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积,所以若对应关系用g、G、F等表示,则函数就可用g(x)、F(x)、G(x)等表示习惯上我们仍称y是x的函数BA定义域和值域与集合A和B之间分别是什么关系？判断下列对应能否表示y是x的函数（1）y=|x|（2）|y|=x（3）y=x2（4）y2=x（5）y2+x2=1（6）y2-x2=1(1)能(2)不能(5)不能(3)能(4)不能(6)不能函数对应法则定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数(0)ykxk2(0)yaxbxca)0(kxky(0)ykxbkRRRRR}0|{xx}0|{yy}44|{0}44|{022abacyyaabacyya时时kybxaaxbyxd①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；故两个函数的三要素一样，则两个函数是相同的！②有些函数不明确说明定义域，则定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围；③显然值域不一定等于B，它可以由定义域、对应法则惟一确定，所以如果两个函数定义域相同，并且对应关系本质相同，则它们的三要素一定都一样，我们就称这它们为同一函数2)()1(xy33)2(xy2)3(xyxxy2)4(下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？【例】2xy是否为函数？f(x)=x2与f(t)=t2是否为同一函数?思考：1.2.22220)(;)()4()1()(;)()3()(;)()2(1)(,)1()()1(xxgxxfxxgxxfxxgxxfxgxxf练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由？基本函数（9）分段函数组合函数复合函数ykxb3kyx等个2yaxbxc,,kxayxkxbxakykxx|||1||1|yxyxx使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)(3)(4)y=f(x)是由几个部分的式子构成的即组合函数，则定义域是(1)如果y=f(x)是整式，则定义域是(2)如果y=f(x)/g(x)分式，则定义域是{x|g(x)≠0}(5)y=f(x)是分段函数，(),()0(),(),()0fxfxfxfxRfx３０对于式子应使对于式子应使对于式子[f(x)]应使全体实数（R）分段中各段集合求并,,kxayxkxbxakyxx(6)实际问题求函数，求实际问题出发决定定义域设a,b是两个实数，而且ab,我们规定：(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b](2)、满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)(3)、满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)或(a,b]区间的概念这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。{|}(,){|}[,){|}=(,)(,)xaxbabxaxbabxxaxbab或求下列函数的定义域：2011(1)()(2)()1||11(3)()45)(4)()12(5)y=2-5x21fxfxxxxfxxxfxxxx||0(,0)xx0{|01}110xxxxx且2450[5,1]xx10[1,2)(2,)20xx210122[,)(,)250255xx已知y=f(x),给出对应法则：y=x2-x，1）输入那么输出的值分别为x：2）能输入”x+1”这样的式子吗？1,1,,1xxxaxa22(1)0,(1)2,(),(1)(1)(1)fffaaafaaa213fxxxxy(())yfgx若函数的定义域为[1,3]，则函数的定义域为：1yfx()yfx()[1,3](1)1[1,3]yfxxyfxx中中(1)[0,2]yfx的定义域为若函数的定义域为[1,3]，则函数的定义域为：2yfx(1)yfx已知y=f(x),给出对应法则：y=x2-x，1）输入那么输出的值分别为x：2）能输入”x+1”这样的式子吗？1,1,,1xxxaxa22(1)0,(1)2,(),(1)(1)(1)fffaaafaaa213fxxxxy(())yfgx4222yxxyxxy=f(x),给出对应法则：y=x2-x，分别定义域为[-3,3]、[0,3]、[1,4]时相应的函数值域y=f(x),给出对应法则：y=x4-x2，分别定义域为R、[0,3]时相应的函数值域y=f(x),给出对应法则：y=𝟒+𝒙，定义域为[0,4]时相应的值域222ykxykxbkyxkybxaaxbyxcyaxbxcyaxcyaxbx2,2,2xxyxx12()3xfxx23240220244[2,4]xtxxtttt由图可知0值域为22112(1)2112201txxtyttxty设，则默认范围由图可知,1]值域为(-12()3xfxx122(3)7()33xxfxxx772233xx1,2)[,)3值域为(-12()3xfxx3102yxy1,2)[,)3值域为(-123xyx1、函数的定义及概念2、函数的三要素定义域函数值构成的值域对应法则自变量的取值范围（具体和抽象）解析式、图象、表格将x的取值代入得函数值，三种方法求值域1xyx221xyx2113yxx234,(0,4)yxxx1.{|2}(,2)(2,)xx或2[,)3[1,2)(2,)2.[3,2]3.[1,4]4.[2,2][0,2]255.[,0)4136.[,)47.{|1}yy||||||||yxaxbyxaxb