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第三课时2019年12月31日星期二§2.5等比数列的前n项和2019年12月31日星期二1、等比数列的前𝒏项和公式等比数列{𝒂𝒏}的首项为𝒂𝟏，公比为𝒒，则其前𝒏项和𝑺𝒏：当𝒒=𝟏时，𝑺𝒏=𝒏𝒂𝟏；当𝒒≠𝟏时，𝑺𝒏=𝒂𝟏−𝒂𝒏𝒒𝟏−𝒒或𝑺𝒏=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒。2、等比数列前𝒏项和的性质1：（1）当𝒒=𝟏时，𝑺𝒏=𝒏𝒂𝟏，数列{𝑺𝒏}的图象是函数𝒚=𝒂𝟏𝒙上的一群孤立的点；（2）当𝒒≠𝟏时，𝑺𝒏=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒=𝒂𝟏𝟏−𝒒−𝒂𝟏𝟏−𝒒𝒒𝒏，设𝑨=𝒂𝟏𝟏−𝒒，则𝑺𝒏=𝑨−𝑨𝒒𝒏，此时，数列{𝑺𝒏}的图象是函数𝒚=𝑨−𝑨𝒒𝒙的图象上一群孤立的点。2019年12月31日星期二3、等比数列前𝒏项和的性质2：等比数列{𝒂𝒏}的公比为𝒒，前𝒏项和为𝑺𝒏，那么数列𝑺𝒌，𝑺𝟐𝒌−𝑺𝒌，𝑺𝟑𝒌−𝑺𝟐𝒌，⋯（𝒌∈𝑵∗）是等比数列，其公比等于𝒒𝒌。4、等比数列前𝒏项和的性质3：在等比数列中，若项数为𝟐𝒏（𝐧∈𝑵∗），则𝑺偶𝑺奇=𝒒。例3、某林场原有森林木材存有量为50万立方米，木材以年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐一定量的木材，为了实现20年达到木材存有量至少翻两番的目标，问每年冬季的最大砍伐量是多少立方米？（精确到1，𝐥𝐠𝟐≈𝟎.𝟑）2019年12月31日星期二例1、求和：𝑺𝒏=𝟏×𝟏𝟐+𝟑×𝟏𝟒+𝟓×𝟏𝟖+⋯+𝟐𝒏−𝟏𝟐𝒏1、一般地，如果数列{𝒂𝒏}是等差数列，{𝒃𝒏}是等比数列，求数列{𝒂𝒏∙𝒃𝒏}的前𝒏项和时，可采用错位相减法。2、用错位相减法求和时，应注意：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意；（2）在写出“𝑺𝒏”与“𝒒𝑺𝒏”的表达式时应特别注意将两式“错位对齐”，以便于下一步准确写出“𝑺𝒏−𝒒𝑺𝒏”的表达式。小结2019年12月31日星期二题目背景介绍：1、复利：银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利。2、分期付款中的情况和规定：购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：（1）分期付款中规定每期所付款额相同；（2）每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金。（3）分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随时间推移而不断增值。（4）各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。2019年12月31日星期二例2、某家庭打算在2010年的年底，花20万元购一套商品房，为此，计划从2001年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款子到2010年底连本带息达到20万元，如果每年的存入数额相同，利息依年利率4%并按复利计算，问每年的存入数应为多少？例3、王老师在今年年初货款𝒂万元，年利率为𝒓，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额是多少？变式练习：王老师在今年年初货款𝒂万元，年利率为𝒓，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计𝒏年内还清，则每年应偿还的金额是多少？2019年12月31日星期二分期付款问题实质上就是等比数列实际的应用问题，解答这一类与数列有关的应用问题，首先要认真读题，从题目的社会、经济、应用等背景中审出隐含的数学语语言、数学信息，去掉背景，转化为纯数学问题；充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立出与之有关的数学模型，最后用数列的有关知识去解决实际问题。结论2019年12月31日星期二1、求数列{𝒏∙𝟑𝒏−𝟏}的前𝒏项和。2、某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险。若第一年年末存在入𝒑元，第二年年末存在入𝟐𝒑元，……，第𝒏年年末存在入𝒏𝒑元，年利率为𝒌，问第𝒏+𝟏年年初，他可一次性获得养老金本利合计多少元？2019年12月31日星期二等比数列的应用错位相减法分期付款问题课时作业15