王勖成《有限单元法》学习总结

2019/12/311王勖成《有限单元法》（学习总结）汇报人：XXX时间：XXX内容提纲一、绪论二、有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式四、单元和插值函数的构造五、等参元与数值积分六、有限元法运用中的若干实际考虑七、线性代数方程组的解法八、有限元分析计算机程序一、绪论1.1有限元法要点：①将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的节点相互联接成为组合体；②用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数）在单元各结点上的数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式为矩阵形式）；③通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数结点值）的代数方程组或者场微分方程组。一、绪论1.2有限元法特性：①对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）；②对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式，也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)；③建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的等效积分形式)；④适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机编程和执行)。一、绪论1.3有限元法的发展和现状：①单元类型和形式：为扩大有限元法的应用领域，新的单元类型不断涌现，例如等参单元采用和位移插值相同的表示方法，将形状规则单元变换为边界为曲线或曲面的单元；②有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用提供可靠的理论基础，研究了Hellinger-Reissner原理、Hu-Wanshizu原理等多场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型的有限元表达格式；③有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态问题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元法的计算机软件（专用软件、大型通用商业软件）一、绪论1.4有限元法的未来：①为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元形式；②为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新的数值分析方案；③有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展（VPD）系统二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.1微分方程的等效积分形式：上式满足微分方程组和边界条件：1.1.2微分方程等效积分的“弱”形式：通过适当提高对任意函数v的连续性要求，以降低微分方程场函数u的连续性要求所建立的等效积分形式。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.3基于等效积分形式的近似方法—加权余量法：假设未知函数u可以采用近似函数表示，近似函数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：通常n取有限项的近似解不能精确满足微分方程式和边界条件，故产生残差R，即：把等效积分形式写成余量形式：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.2微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3基于等效积分形式的近似方法—加权余量法：采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解的方法称为加权余量法。根据对权函数W的不同选择可得到不同的加权余量计算方法，常用的方法有：①配点法：②子域法：在n个子域内W=I，在子域意外W=0。即强迫余量在n个子域的积分为零。③最小二乘法：使最小，即。④力矩法：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.2微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3基于等效积分形式的近似方法—加权余量法：①伽辽金法：取W=N，即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，等效积分形式：近似解变分为：使加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分的“弱”形式，可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋于精确解。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.3变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分算子：若微分方程：L为微分算子，若,则为线性。L(u)与任意函数的内积：若，则算子为自伴随的。泛函的构造：原问题微分方程和边界条件：与上式等效的伽辽金法：若：，其中：为原问题的泛函。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理1.3变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：泛函的构造：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金提法得到的，并称这样的到的变分原理为自然变分原理。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.3变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：泛函的极值性：对于2m阶微分方程，含0~m-1阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应事先满足。含m~2m-1阶导数的边界条件成为自然边界条件，近似函数不必事先满足。设近似场函数，则其中，是真正的泛函，是等效积分伽辽金提法的弱形式，应有：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.3变分原理和里兹方法2.3.2里兹方法：设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数来近似表示，即：泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得方程等于零，即：由于是任意的，满足上式时必然有都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程组，用以求近似解的经典方法叫做里兹法。里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.3变分原理和里兹方法2.3.2里兹方法：当n趋于无穷时，近似解收敛于微分方程精确解的条件如下：①试探函数应取自完备函数系列。满足此要求的试探函数称为是完备的；②试探函数应满足连续性要求，即表示泛函的场函数最高的微分阶数是m时，试探函数0~m-1阶导数应是连续的，以保证泛函中的积分存在，满足此要求的试探函数称为是协调的。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：平衡方程：弹性体V域内任一点沿坐标轴x,y,z方向的平衡方程为：平衡方程矩阵形式：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：几何方程——应变与位移关系：在微小位移和微小变形情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的关系为：几何方程的矩阵形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：物理方程——应力与应变关系：弹性力学中应力-应变之间的转换关系也称弹性关系。对各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示为：其中，D为弹性矩阵，它完全取决于弹性体材料的弹性模量和泊松比。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：力的边界条件：弹性体在边界上单位面积的内力等于在边界上已知弹性体单位面积上作用的面积力，即：设边界外法线的方向余弦为，则边界上弹性体的内力为：边界条件矩阵形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：几何边界条件：弹性体在边界上单位面积的内力等于：边界条件矩阵形式为：把边界力学方程记为一般形式，则有：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性体应变能和余能：单位体积的应变能（应变能密度）为：应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时，应变能才为零。单位体积的余能（余能密度）为：余能也是正定函数，在线弹性力学中弹性体的应变能等于余能。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2弹性力学基本方程的张量形式：平衡方程：张量形式的平衡方程为：其扩展形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2弹性力学基本方程的张量形式：几何方程：张量形式的几何方程为：其扩展形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2弹性力学基本方程的张量形式：物理方程：张量形式的物理方程为：其扩展形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2弹性力学基本方程的张量形式：力的边界条件：张量形式的力的边界条件为：其扩展形式为：二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.3平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚位移原理：平衡方程和力边界条件为：其等效积分为：经分部积分后的等效积分“弱”形式为：虚功是外力和内力分别在虚位移与之对应的虚应变上所作的功，称为虚位移原理。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.3平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚应力原理：几何方程和位移条件为：其等效积分为：经分部积分后的等效积分“弱”形式为：上式第一项代表虚应力在应变上所作的功，第二项代表虚位移约束反力在给定位移上所作的虚功，称为虚应力原理。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4线弹性力学的变分原理最小位能原理：系统的总位能是弹性体变形位能和外力位能之和：在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件式的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。即在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值，因此称为最小位能原理。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4线弹性力学的变分原理最小余能原理：系统的总位能是弹性体余能和外力余能之和：在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能盈利中，真实应力使系统的总余能取驻值，真实位移使系统总位能取最小值类同步骤，证明在所有应力中，真实应力使系统总余能取最小值，因此称为最小余能原理。二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理2.4弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4线弹性力学的变分原理弹性力学变分原理的能量上、下界：根据能量平衡，应变能应等于外力功，因此得到弹性系统的总位能与总余能之和为零：利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小；利用最小余能原理得到的应力近似解的弹性余能是精确解余能的下界，即近似的应力解在总体上偏大。三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式3.2弹性力学平面问题的有限元格式3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元的位移模式和广义坐标：在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数增多，可以逼近任何一段函数曲线，三结点三角形单元位移模式选取一次多项式：矩阵形式称为位移模式，表示位移作为坐标x,y的函数中所包含的项次；是待定系数，称之为广义坐标。三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式3.2弹性力学平面问题的有限元格