2.3幂函数

幂函数数学的内在美--运算的完美性32831828log32我们来看看由8、2、3、这四个数运用数学符号可组成哪些等式？31;1.xaybNa我们建立了指数函数的变化而变化，随一定，如果我们知道：Nab函数的完美追求。我们建立了对数函数：的变化而变化，随一定，如果xyNbaalog.2设想：bNa如果一定，随的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？我们先来看看几个具体的问题:(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付__________P=x元(2)如果正方形的边长为x,那么正方形的面积_____(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积________(4)如果某人xs内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度____________S=x²V=x³V=x⁻¹以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1我们把形如：的函数称为幂函数，其中是实常数，其定义域是使之成立的所有实数。一、幂函数的定义：------为了研究方便，我们只对是有理数的情况进行一些讨论探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗？ayxaa式子名称axy指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值总结：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x是指数还是底数幂函数指数函数探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=x2+x（4）（5）y=2x（6）y=121x答案（1）（4）尝试练习：53xy二、特殊的幂函数的性质yx2yx3yx12yx1yx2yx13yx定义域：值域：奇偶性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在R函数y=x的图象和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：R),0[上是偶函数在R上是增函数在),0[上是减函数在]0,(函数y=x2的图象和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在R函数y=x3的图象和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：),0[非奇非偶函数上是增函数在),0[),0[函数y=x0.5的图象和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：R奇函数R在上是增函数R函数的图象和性质13yx-7-5-3-11357系列1定义域：值域：奇偶性：单调性：}0{xx上是奇函数在}0{xx上是减函数在),0(上是减函数在]0,(}0{xx函数y=x－1的图象和性质函数y=x－2的图象和性质定义域：值域：奇偶性：单调性：}0{xx{0}xx在上是偶函数(0,)在上是减函数(,0]在上是增函数{0}yyXy110y=x2y=x3y=x1/2Xy110y=x-1y=x-2y=x-1/2a0a0（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，+∞)上是增函数。（1）图象都过（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，+∞）上是减函数。（3）在第一象限，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。y=x1/3一般幂函数的性质:★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1)..★幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异附：★当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.★当α1时,可记做m/n,那么当m为偶时，n不论取几，幂函数都是偶函数。当m为奇数时，n取奇则为奇函数，n取偶则为非奇非偶。一般幂函数的性质:★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1)..★幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异★.幂函数图象在第一象限的分布情况归纳：10101001练习：将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。(1)y=x54(2)y=x34(3)y=x21(4)y=x311-121-1-4-224642-2-4-6-4-224642-2-4y=x34y=x21y=x31y=x54注：幂函数在第一象限的图象如图所示，试比较m、n、p的大小。mxynxypxy-4-2246642-2-4mnp642-2-4-4-2246npm在上任取一点作轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，的值就越大。),1(x例1、比较大小：（1）1.53/51.73/5（2）0.71.50.61.5（3）2.2-2/31.8-2/3（4）0.15-1.20.17-1.2例2比较下列各组数的大小；51418787252553391821331..)()()(.)(和和和利用幂函数的增减性比较两个数的大小,当不能直接进行比较时,可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小例3、求下列函数的定义域：（1）y=(2x+5)1/2（2）y=(x-3)-1/5(1)解:y=52xx≥-5/2函数y=(2x+5)1/2的定义域为[-5/2，+∞).解：y=531x解不等式x–3≠0得X≠3函数y=(x-3)-1/5的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞).解不等式2x+5≥0得•练习1：给定函数解析式：•则图象关于y轴对称的函数是＿＿＿；•则图象关于原点对称的函数是＿＿＿；•则互为反函数的两个函数是＿＿＿。233323213132213231)10(;)9(;)8(;)7(;)6(;)5(;)4(;)3(;)2(;)1(xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy4321-1-2-3-4-2246yx2yx3yx12yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)从图象能得出他们的性质吗?