算法设计与分析试卷及答案

算法设计与分析1、(1)证明：O(f)+O(g)=O(f+g)（7分）(2)求下列函数的渐近表达式：（6分）①3n2+10n;②21+1/n;2、对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ(g(n))，并简述理由。（15分）(1);5log)(;log)(2nngnnf(2);)(;log)(2nngnnf(3);log)(;)(2nngnnf3、试用分治法对数组A[n]实现快速排序。（13分）4、试用动态规划算法实现最长公共子序列问题。（15分）5、试用贪心算法求解汽车加油问题：已知一辆汽车加满油后可行驶n公里，而旅途中有若干个加油站。试设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使加油次数最少。（12分）6、试用动态规划算法实现下列问题：设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作，将字符串A转换为字符串B，这里所说的字符操作包括：(1)删除一个字符。(2)插入一个字符。(3)将一个字符改为另一个字符。将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的两个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。（16分）7、试用回溯法解决下列整数变换问题：关于整数i的变换f和g定义如下：2/)(;3)(iigiif。对于给定的两个整数n和m，要求用最少的变换f和g变换次数将n变为m。（16分）1、⑴证明：令F(n)=O(f),则存在自然数n1、c1，使得对任意的自然数n≥n1，有：F(n)≤c1f(n)……………………………..（2分）同理可令G(n)=O(g),则存在自然数n2、c2，使得对任意的自然数n≥n2，有：G(n)≤c2g(n)……………………………..（3分）令c3=max{c1,c2},n3=max{n1,n2},则对所有的n≥n3，有：F(n)≤c1f(n)≤c3f(n)G(n)≤c2g(n)≤c3g(n)……………………………..（5分）故有：O(f)+O(g)=F(n)+G(n)≤c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n))因此有：O(f)+O(g)=O(f+g)……………………………..（7分）⑵解：①因为;01033)103(lim222nnnnnn由渐近表达式的定义易知：3n2是3n2+10n的渐近表达式。……………………………..（3分）②因为nnn,012121121，由渐近表达式的定义易知：21是n121的渐近表达式。……………………………..（6分）说明：函数T(n)的渐近表达式t(n)定义为：nnTntnT,0)()()(2、解：经分析结论为：（1）);5(loglog2nn………………………….（5分）（2）)(log2nn；………………………….（10分）（3）)(log2nn；………………………….（15分）3、解：用分治法求解的算法代码如下：intpartition(floatA[],intp,intr){inti=p,j=r+1;floatx=a[p];while(1){while(a[++i]x);while(a[--j]x);if(i=j)break;a[i]←→a[j]……………………………..（4分）};a[p]=a[j];a[j]=x;returnj;……………………………..（7分）}voidQuicksort(floata[],intp,intr){if(pr){intq=partition(a,p,r);……………………………..（10分）Quicksort(a,p,q-1);Quicksort(a,q+1,r);}};Quicksort(a,0,n-1);……………………………..（13分）4、解：用动态规划算法求解的算法代码如下：intlcs_len(char*a,char*b,intc[][N]){intm=strlen(a),n=strlen(b),i,j;for(i=0;i=m;i++)c[i][0]=0;for(j=1;j=n;j++)c[0][j]=0;……………………………..（4分）for(i=1;i=m;i++)for(j=1;j=n;j++)if(a[i-1]==b[j-1])c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;elseif(c[i-1][j]=c[i][j-1])c[i][j]=c[i-1][j];elsec[i][j]=c[i][j-1];……………………………..（7分）returnc[m][n];……………………………..（8分）};char*build_lcs(chars[],char*a,char*b){intk,i=strlen(a),j=strlen(b),c[N][N];k=lcs_len(a,b,c);s[k]=’\0’;while(k0){if(c[i][j]==c[i-1][j])i--;……………………………..（11分）elseif(c[i][j]==c[i][j-1])j--;else{s[--k]=a[i-1];i--,j--;}}returns;……………………………..（15分）}5、解：intgreedy(vecterintx,intn){intsum=0,k=x.size();for(intj=0;jk;j++)if(x[j]n){cout”Nosolution”endl;return-1;……………………………..（6分）}for(inti=0,s=0;ik;i++){s+=x[i];if(sn){sum++;s=x[i];}……………………………..（9分）}returnsum;……………………………..（12分）}6、解：此题用动态规划算法求解：intdist(){intm=a.size();intn=b.size();vectorintd(n+1,0);for(inti=1;i=n;i++)d[i]=i;……………………………..（5分）for(i=1;i=m;i++){inty=i-1;for(intj=1;j=n;j++){intx=y;y=d[j];intz=j1?d[j-1]:i;……………………………..（10分）intdel=a[i-1]==b[j-1]?0:1;d[j]=min(x+del,y+1,z+1);……………………………..（13分）}}returnd[n];……………………………..（16分）}7、解：解答如下：voidcompute(){k=1;while(!search(1,n)){k++;if(kmaxdep)break;init();};……………………………..（6分）if(found)output();……………………………..（9分）elsecout”NoSolution!”endl;}boolsearch(intdep,intn){if(depk)returnfalse;……………………………..（11分）for(inti=0;i2;i++){intn1=f(n,i);t[dep]=I;……………………………..（13分）if(n1==m||search(dep+1,n1)){found=true;out();returntrue;}returnfalse;……………………………..（16分）}