结构动力学第六章

第6章分布参数体系•前面介绍了结构动力分析中最基本方法，处理的是有限自由度体系的动力反应问题。•真实结构，质量连续分布。描述和确定连续介质的空间位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间坐标x、y、z的连续函数）。•结构体系实际上有无限个动力自由度，这时要精确描述结构体系的运动状态必须用偏微分方程，其独立自变量除时间外，还包括空间位置坐标，这时的结构体系称为分布参数体系。•对于梁和杆，如果它们物理性质（质量、刚度）完全可以用轴线的位置确定，描述这个体系的偏微分方程只包括两个独立自变量：轴线位置坐标和时间。这种结构称为一维结构。•对于板和壳，一般需要两个位置坐标，是二维结构。运动方程是有三个独立自变量的偏微分方程。•对于地球介质或不均匀厚板则需要三个空间位置坐标，这时结构是三维结构，运动方程是含四个独立自变量的偏微分方程。•偏微分方程的求解比常微分方程困难得多，因此在介绍具有分布体系的动力分析时，往往仅局限于对单个构件的分析。•这些构件是组成实际工程结构的基本单元，研究基本单元的振动不仅是实际问题的需要，也是研究工程中复杂结构的基础。•本章仅限于介绍一维梁模型，和材料力学研究的对象差不多。虽然所讨论的力学模型简单，但它是更复杂结构研究的基础。本章研究的内容和成果可以推广到更复杂的框架结构动力分析中。•实际工程中的一些问题也可以简化为一维结构进行分析。夹层钢板橡胶垫(a)隔震结构体系剪切梁(b)等效剪切梁模型KhC弯曲梁(c)等效弯曲梁模型KhCKV6.1梁的偏微分运动方程•假定梁的运动为平面弯曲，并假定梁在弯曲变形过程中任一横截面始终与梁的原始轴线保持垂直•取微元体，由竖向平衡条件MdxQMMdxx∂+∂QQdxx∂+∂22umdxt∂∂xP(x,t)u(x,t)EI(x)xdxlm(x)u(x,t)弯曲振动直梁及其微元体0]),()(),([22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−∂∂−−dxxQQdxttxuxmtxPQ对微元体右截面和x轴交点取矩得0)](),()(),([21222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−∂∂−−+xMMdxttxuxmtxPQdxM忽略二阶小量QxM=∂∂22),()(),(ttxuxmtxPxQ∂∂+−=∂∂6.1.1弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程再补充材料力学中给出的梁的弯矩和曲率的关系式QxM=∂∂22),()(),(ttxuxmtxPxQ∂∂+−=∂∂22),()(xtxuxEIM∂∂−=由以上三式得到弯曲梁的偏微分运动方程),(),()(),()(222222txPxtxuxEIxttxuxm=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂对于等截面梁，上式可以简化成为),(),(),(4422txPxtxuEIttxum=∂∂+∂∂(6-7)(6-8)上式为具有分布参数的弯曲梁的偏微分运动方程。这是一个四阶偏微分方程，由于应用了平截面假定，没考虑梁的剪切变形。仅考虑弯曲变形的梁也称为欧拉梁(Eulerbeam)。•在以上方程推导中仅考虑了梁的横向弯曲变形，忽略了由横截面转动（转动惯性）导致的惯性力，以及剪切变形和轴力产生的弯曲效应。•考虑剪切变形、转动惯量和轴力的影响将大大增加问题的复杂性。•Timoshenko考虑了剪切变形和转动惯量影响因素，给出了考虑剪切变形和转动惯量影响时梁的运动方程。这时，梁被称为铁木辛柯梁。•在相关的结构动力学中给出了考虑以上三种因素影响的运动偏微分方程。下面仅给出结果，不予推导证明。6.1.2考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程),(),()(),(),()(22222222txPxtxuxEIxxtxuNttxuxm=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂+∂∂式中：N—轴力（压力为正）∂2u/∂x2—曲率；N∂2u/∂x2=PN—轴力引起的横向力。即轴力与曲率之积形成了一种作用于梁上的等效横向力。若轴力沿x轴变化，即N=N(x)，则轴力引起的横向力])([xuxNxPN∂∂∂∂=6.1.3考虑转动惯量的梁的横向振动方程式中：ρ—材料的质量密度；I(x)—梁的横截面惯性矩。),(),()(),()(),()(22222322txPxtxuxEIxtxtxuxIxttxuxm=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂−∂∂ρ式中第二项为考虑转动惯量的影响。对于高跨比很大的梁，梁在运动过程中剪切变形和转动惯量的影响是不能忽视的，必须加以考虑。6.1.4考虑剪切变形和转动惯性的梁的横向振动方程式中：A—梁的横截面积；k'A—梁的有效剪切面积；k'—截面有效剪切系数；G—材料剪切模量。0222222222244422=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂∂−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∂∂+∂∂tumPtk'AGItumPxk'AGEItxuIPxuEItumρρ（转动惯量影响项）（剪切变形影响项）（剪切变形和转动惯量耦合影响项）•对于细长梁可以不考虑铁木辛柯梁方程，但对于深梁，其转动惯性项和剪切变形不可忽略时则必须考虑。但一般考虑到与线性位移引起的惯性力相比，转动项仍为小量，往往予以忽略。6.1.5考虑阻尼的梁的振动方程•梁在振动过程中，受到两种阻尼的作用。一种是外界介质如水、空气、土等对梁体运动的阻抗，称为外阻尼；另一种是由于结构截面上的纤维反复变形，沿截面高度产生的分布阻尼应力，称为内阻尼。•这两种阻尼都是粘性阻尼，前者是梁竖向振动速度的函数，后者与梁材料的应变速度乘比例。ttxcxsD∂∂=),,()(ηεσ•内阻尼产生的阻尼应力与材料的应变速度有关•外阻尼产生的阻尼力为ttxuxcxfD∂∂=),()()(),(),()(),()(),()(),()(22232222txPxtxuxEItxtxuxIcxttxuxcttxuxms=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂•由此可以得到弯矩与曲率及曲率的速率的关系为2322suuMEIcIxxt∂∂=+∂∂∂•最后得到有阻尼时弯曲梁的偏微分运动方程※梁（杆）的轴向振动•弯曲是梁的最主要变形形式，对于另外一些问题，梁(杆)的运动主要以轴向变形为主，而横向变形可以忽略，例如打桩过程，这时在力学分析中一般习惯把梁称为杆。梁的轴向运动方程同样可以取微元体平衡得到u(x,t)EA(x)xdxlm(x)xNdxNNdxx∂+∂22umdxt∂∂22()0NuNdxNmdxxt∂∂+−−=∂∂整理得220uNmtx∂∂−=∂∂由材料的应力应变关系220uNmtx∂∂−=∂∂可得轴力和位移关系梁的轴向运动方程若EA为常数，则式中：A—横截面积；u—纵向（杆轴向）位移。梁（杆）轴向振动的控制方程是一个二阶偏微分方程。Eσε=uNAAEAExσε∂===∂22()0uumEAxtxx∂∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂∂⎝⎠2222uumEAtx∂∂=∂∂※均匀剪切梁（只有剪切变形）•对于另外一类工程问题，例如一维土层的剪切振动，均匀剪切型中低层建筑地震反应初步分析，结构的变形以剪切变形为主，可把问题化为均匀剪切梁模型。•均匀剪切梁运动方程的推导与梁的轴向振动方程的推导基本相同，仅需把轴向变形改为剪切变形，正应变改为剪应变，并用剪力代替轴力。•剪切梁的剪切运动方程为22(,)(,)()()0uxtuxtmxGAxtxx∂∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂∂⎝⎠•GA为常数时2222(,)(,)()uxtuxtmxGAtx∂∂=∂∂式中：G—剪切模量；u＝u(x,t)—剪切梁的横向位移。•剪切梁振动控制方程也是一个二阶偏微分方程。6.2梁的自振频率和振型由弯曲梁的偏微分运动方程得到梁的无阻尼自由振动方程为0),()(),()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂xtxuxEIxttxuxm对以上偏微分方程可以采用分离变量法求解，设解的形式为(,)()()uxtxqtφ=则有22()()uxqttφ∂=∂&&22()()uxqtxφ∂′′=∂式中“˙”代表对时间t求导，“'”代表对空间坐标x求导数()()()()[()()]0mxxqtqtEIxxφφ′′′′+=&&2222)(,)(,)(xxtqtqtqtq∂∂=′′∂∂=∂∂=φφ&&&22()()uxqttφ∂=∂&&22()()uxqtxφ∂′′=∂6.2.1弯曲梁的自振频率和振型()()()()[()()]0mxxqtqtEIxxφφ′′′′+=&&2[()()]()()()()EIxxqtmxxqtφωφ′′′′=−=&&2()()0qtqtω+=&&()cossinqtAtBtωω=+()mxm=()EIxEI=为常数，为常数4()()0xaxφφ′′′′−=24maEIω=q(t)中的待定系数A、B由初始条件确定。(x)中的待定常数c1、c2、c3、c4和特征值a（相应于自振频率ω）由梁的边界条件确定。φ1234()cossincoshsinhxcaxcaxcaxcaxφ=+++0)()(])()([2=−′′′′xxmxxEIφωφ方程的一般解法4()()0xaxφφ′′′′−=设方程的解为()sxxCeφ=44()0sxsaCe−=44()0sa−=1234siasiasasa==−==−1234()iaxiaxaxaxxCeCeCeCeφ−−=+++cossincoshsinhiaxaxeaxiaxeaxax±±=±=±()sincossinhcoshxAaxBaxCaxDaxφ=+++的确定()xφ中的待定值与梁的边界条件有关。()xφ•梁的每个端点可以提供两个边界条件（位移、转角、弯矩、剪力中的两个）。两个端点共提供4个边界条件。将带未知系数的振型函数代入边界条件，与多自由度体系自由振动问题相似，通过有非零解的必要条件建立频率方程可以首先解出自振频率ω（直接解出量为a），其余3个待定常数可以建立与最后一个待定常数的关系式，得到的振型是带有一个任意比例常数的函数，与多自由度体系的振型函数一样，它反映了梁在自由振动过程中各点位移的比例关系。()xφ•也可以采用与多自由度体系对振型处理时相同的方法，对梁的振型进行归一化（标准化）。()sincossinhcoshxAaxBaxCaxDaxφ=+++24maEIω=用振型表示的几种常用的边界条件（x＝0）()①固定端边界条件xφ边界条件为梁端位移和转角分别等于零(0,)0(0,)0utut=⎧⎨′=⎩(0)0(0)0φφ=⎧⎨′=⎩将代入上式，并考虑q(t)的任意性，得到用振型表示的梁端边界条件为(,)()()uxtxqtφ=()xφ②简支端边界条件边界条件为梁端位移和弯矩分别等于零(0,)0(0,)0utMt=⎧⎨=⎩由，并考虑q(t)的任意性，得到用振型表示的梁端边界条件为(,)()()MxtEIuEIxqtφ′′′′==()xφ(0)0(0)0φφ=⎧⎨′′=⎩③自由端边界条件边界条件为梁端弯矩和剪力分别等于零(0,)0(0,)0MtQt=⎧⎨=⎩得梁自由端边界条件为由和(,)()()MxtEIuEIxqtφ′′′′==(,)()()MQxtEIxqtxφ∂′′′==∂(0)0(0)0φφ′′=⎧⎨′′′=⎩④梁端带有集中质量m时的边界条件梁端弯矩为零，剪力等于集中质量m产生的惯性力22(0,)0(0,)(0,)MtutQtmt=⎧⎪⎨∂=−⎪∂⎩2(0)0(0)(0)0EImφφωφ′′=⎧⎨′′′−=⎩得梁自由端边界条件为()()QEIxqtφ′′′=(,)()()uxtxqtφ=由和、0)()(2=+tqtqω&&⑤梁端带有抗弯转动弹簧kθ和竖向支撑弹簧kv时的边界条件梁端边界条件为梁端弯矩等于抗弯弹簧刚度kθ乘以梁端转角，而梁端剪力等于竖向支撑弹簧kv乘以梁端位移：考虑位移与弯矩、剪力的关系，可得用振型表示的边界条件为()xφ0(,)(0,)(0,)(0,)xvuxtMtkxQTkutθ=∂⎧=⎪∂⎨⎪=−⎩(0)(0)0(0)(0)0vEIkEIkθφφφφ′′′−=⎧⎨′′′+=⎩例6.1均匀简支梁的自振频率和振型解：梁端边界条件为振型一般表达式(0)0,(0)0,()0,()0LLφφφφ′′′′====将振型解代入由x=0梁端给出的