高二上期数学文科复习知识点总结

第1页共12页知识点梳理一、立体几何1．多面体的结构特征(1)棱柱底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等(2)棱锥底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图第2页共12页侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l6．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3二、点线面的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与相交a∩α＝A1个第3页共12页平面平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个4．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b5．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b6．直线与平面垂直第4页共12页(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b7．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α三、直线与方程1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.3．直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直第5页共12页线斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)xa＋yb＝1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)4．两直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0当A2B2≠0时，记为A1A2≠B1B2垂直k1＝－1k2或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠C1C25．两直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．6．几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22.(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.第6页共12页(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.四、圆与方程1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.3．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r4．圆与圆的位置关系(两圆半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|五、圆锥曲线1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：第7页共12页①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．4．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)第8页共12页图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)5．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．6．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下第9页共12页焦半径(其中P(x0，y0)|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p27．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．8．弦长公式：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.六、简单的逻辑用语1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若p则q(p⇒q)；