常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。1.方程23210dxxdt是阶（线性、非线性）微分方程.2.方程()xdyfxyydx经变换_______，可以化为变量分离方程.3.微分方程3230dyyxdx满足条件(0)1,(0)2yy的解有个.4.设常系数方程xyyye的一个特解*2()xxxyxeexe，则此方程的系数，，.5.朗斯基行列式()0Wt是函数组12(),(),,()nxtxtxt在axb上线性相关的条件.6.方程22(2320)0xydxxydy的只与y有关的积分因子为.7.已知()XAtX的基解矩阵为()t的，则()At.8.方程组20'05xx的基解矩阵为．9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10.是满足方程251yyyy和初始条件的唯一解.11.方程的待定特解可取的形式:12.三阶常系数齐线性方程20yyy的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dyxydxxy.3.求解方程222()0dxdxxdtdt。4．用比较系数法解方程..5．求方程sinyyx的通解.6．验证微分方程22(cossin)(1)0xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A，11，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.8.求方程2213dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解.9.求的通解试求方程组xAx的解(),t12(0),并求expAt10.若三、证明题1.若(),()tt是()XAtX的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得()()ttC.2.设),()(0xxx是积分方程],[,,])([)(0200xxdyyxyxx的皮卡逐步逼近函数序列)}({xn在],[上一致收敛所得的解，而)(x是这积分方程在],[上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[上)()(xx.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4.试证：如果)(t是AXdtdX满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt.答案一.填空题。1.二，非线性2.uxy，11(()1)dudxufux3.无穷多4.3,2,15.必要6.3y7.1()()tt8.2500tAtteee9.10.11.2114A32()480dydyxyydxdx12.1,二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.解:设曲线方程为,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为,则由题意可得如下初值问题:.分离变量,积分并整理后可得.代入初始条件可得,因此得所求曲线为.2.求解方程13dyxydxxy.解：由10,30xyxy求得1,2xy令1,2,xy则有.dd令z，解得2(1)1zdzdz,积分得21arctanln(1)ln||2zzC,故原方程的解为222arctanln(1)(2)1yxyCx.3.求解方程222()0dxdxxdtdt解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。4.用比较系数法解方程..解：特征方程为,特征根为.对应齐方程的通解为.设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得,故.原方程的通解可以表示为(是任意常数).5.求方程sinyyx的通解.解：先解yy得通解为xyce,令()xycxe为原方程的解，代入得()()()sinxxxcxecxecxex,即有()sinxcxex,积分得1()(sincos)2xcxexxc,所以1(sincos)2xycexx为原方程的通解.6．验证微分方程22(cossin)(1)0xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.解：由于22(,)cossin,(,)(1)MxyxxxyNxyyx，因为2MNxyyx所以原方程为恰当方程.把原方程分项组合得22cossin()0xxdxxydxyxdyydy,或写成2222111(sin)()()0222dxdxydy,故原方程的通解为2222sinxxyyC.7．设3124A，11，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.解：特征方程为31det()(2)(5)0,24AE求得特征值122,5,对应122,5的特征向量分别为1211,,(,0).12VV可得一个基解矩阵2525().2tttteetee，又因为1211(0)113，于是，所求的解为)0()()(1tt2525211111132tttteeee25252134tttteeee8.求方程2213dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解.解:令0()0x，于是221001()[213()],xxyxxdxxx223452011133()[213()],1025xxyxxdxxxxxx9.求的通解解：方程可化为3284dyydxxdyydx，令dypdx则有3284pyxyp（*），（*）两边对y求导得322322(4)(8)4dpypypypypdy，即32(4)(2)0dppyypdy，由20dpypdy得12pcy，即2()pyc.将y代入（*）得2224cpxc，即方程的含参数形式的通解为：22224()cpxcpyc，p为参数；又由3240py得123(4)py代入（*）得3427yx也是方程的解.试求方程组xAx的解(),t12(0),并求expAt10.若解：特征方程221()69014p，解得1,23，此时k=1,12n。12v，111123322120()()(3)()!ititittteAEeti由公式expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)01111tttttAteEtAEetett三、证明题1.若(),()tt是()XAtX的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得()()ttC.32()480dydyxyydxdx2114A证：()t是基解矩阵，故1()t存在，令1()()()Xttt，则()Xt可微且det()0Xt，易知()()()ttXt.所以()()()()()ttXttXt()()()()()AttXttXt()()()()AtttXt而()()()tAtt，所以()()0tXt,()0,Xt()XtC（常数矩阵），故()()ttC.2.设),()(0xxx是积分方程],[,,])([)(0200xxdyyxyxx的皮卡逐步逼近函数序列)}({xn在],[上一致收敛所得的解，而)(x是这积分方程在],[上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[上)()(xx.证明：由题设，有xxdyx0,])([)(20,)(00yxxxnnxxdyx0],[,,])([)(0120，),2,1(n.下面只就区间xx0上讨论，对于0xx的讨论完全一样。因为),()|||)(|(|)()(|0200xxMdxxxx其中|}||)(|{max2],[xxxMx，所以00221000|()()|(|()()|)()(),2!xxxxMLxxdLMxdxx其中}{max2],[xLx,设对正整数n有nnnxxnMLxx)(!|)()(|011,则有021xnnx|(x)(x)|(|()()|)d,)(!)1()(!10010nxxnnnxxnMLdxnMLL,故由归纳法，对一切正整数k，有1110|()()|()()!!kkkkkMLMLxxxxkk.而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当k时，它0,因而函数序列)}({xn在xx0上一致收敛于)(x.根据极限的唯一性,即得)()(xx,xx0.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.证明:和的伏朗斯基行列式为因和是基本解组,故.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(ii)得证.若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.4.试证：如果)(t是AXdtdX满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt.证明：因为Attexp)(是AXdtdX的基本解矩阵，)(t是其解，所以存在常向量C使得：(t)expAtC，令0tt，则：CAt0exp，所以10)(expAtC，故1000(t)expAt(expAt)expAtexp(At)expA(tt)