数学系常微分方程期末试卷A及答案

（A）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人第1页（共5页）试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2、考试所用时间：120分钟。3、考试班级：数计学院数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．2．方程04yy的基本解组是．3．方程yxxysindd2满足解的存在唯一性定理条件的区域是．4．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21xxxnYYY为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW．5．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7.方程1ddyxy（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+2……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………数计学院系级班姓名__学号_任课教师审题人年月日第2页（共5页）9、微分方程yyxxln的通解（）A、21lncxxcyB、1ln1xxcyC、xxylnD、211lncxxcy10．n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个1n维线性空间（C）构成一个1n维线性空间（D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分）11.解方程yxxyedd12.解方程0dd)2(yxxyx……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日第3页（共5页）13.解方程1ddxyxy14.解方程0d)2e(deyyxxyy15．试求22320dxdxxdtdt的奇点类型及稳定性……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日第4页（共5页）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程xyye21的通解17．求下列方程组的通解yxtyytx2dddd．……………………………………………密…………………………封…………………………线………………………………………………………………………年月日……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数．19．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．12-13-2学期期末考试《常微分方程》A参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷审核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1,1xy2．xx2cos,2sin3．xoy平面4．充分必要5．开二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．A9．D10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解分离变量得xyxydede（3分）等式两端积分得通积分Cxyee（6分）12．解方程化为xyxy21dd(2分)令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd(4分)分量变量，积分，通解为1Cxu(5分)原方程通解为xCxy2(6分)13．解对应齐次方程dyydxx的通解为Cxy（2分）令非齐次方程的特解为xxCy)(（3分）代入原方程，确定出/1()cxx（4分）再求初等积分得CxxCln)(（5分）因此原方程的通解为Cxy+xxln（6分）14．解：由于xNyMye，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxyxy00d2de（4分）即Cyxy2e（6分）15．解：令dxydt，则：32dyyxdt2分因为01023，又由1023得2320解之得121,2为两相异实根，且均为负4分故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：012（1分）特征根为：1,121（2分）故齐次方程的通解为：xxCCyee21（4分）因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAxxye)(1（6分）代入原方程，有xxxxAxAxAe21eee2，（7分）可解出41A．（8分）故原方程的通解为xxxxCCye41ee21（10分）17．解：特征方程为0121EA即022特征根为21，12（2分）21对应特征向量应满足002121211ba可确定出2111ba（5分）同样可算出12对应的特征向量为1122ba（8分）所以，原方程组的通解为ttttCCyxee2ee2221（10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．证明设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW．又由刘维尔公式x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0x（5分）)(e)()(x0d)(0xpxWxWxssp由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)(xW或0)(xW故)(xW是),(上的严格单调函数．（10分）19．证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(．（2分）显然，该方程有零解0)(xy．（5分）假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，(8分)这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()．这与)(1xy是非零解矛盾．（10分）