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6.4基本不等式及其应用-2-1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.-3-1.基本不等式𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.(3)其中𝑎+𝑏2称为正数a,b的算术平均数,𝑎𝑏称为正数a,b的几何平均数.想一想当利用基本不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理?答案:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.如求函数f(x)=x+1𝑥在x∈[3,+∞)上的最小值,就得利用f(x)=x+1𝑥在[3,+∞)上是增函数,进而得到f(x)min=103.-4-2.利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值P,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2𝑃(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值S,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是𝑆24(简记:和定积最大).-5-3.几个常用的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ab≤𝑎+𝑏22(a,b∈R).(3)𝑎+𝑏22≤𝑎2+𝑏22(a,b∈R).(4)𝑎2+𝑏22≥𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏≥21𝑎+1𝑏(a,b0).(5)𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2(a,b同号且不为0).-6-基础自测1.若x+2y=4,则2x+4y的最小值是(B)A.4B.8C.22D.42解析:∵2x+4y≥2·2𝑥·22𝑦=2·2𝑥+2𝑦=2·24=8,当且仅当2x=22y,即x=2y=2时取等号,∴2x+4y的最小值为8.-7-2.函数y=𝑥2+2x+2𝑥+1(x-1)的图象最低点的坐标是(D)A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)解析:y=(𝑥+1)2+1𝑥+1=(x+1)+1𝑥+1≥2.当且仅当x=0时等号成立.-8-3.设x0,y0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是(D)A.40B.10C.4D.2解析:∵x+4y=40,且x0,y0,∴x+4y≥2·𝑥·4𝑦=4·𝑥𝑦.(当且仅当x=4y时取“=”)∴4𝑥𝑦≤40.∴xy≤100.∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.∴lgx+lgy的最大值为2.-9-4.当x2时,不等式x+1𝑥-2≥a恒成立,则实数a的取值范围是(B)A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[0,+∞)D.[2,4]解析:∵x+1𝑥-2≥a恒成立,∴a必须小于或等于x+1𝑥-2的最小值.∵x2,∴x-20.∴x+1𝑥-2=(x-2)+1𝑥-2+2≥4,当且仅当x=3时取最小值4.故选B.-10-5.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁1m2的造价分别为120元和80元,那么水池表面积的最低造价为1760元.解析:设水池底面的长度、宽度分别为am,bm,则ab=4,令水池表面的总造价为y,则y=ab×120+2(2a+2b)×80=480+320(a+b)≥480+320×2𝑎𝑏=480+320×4=1760,当且仅当a=b=2时取“=”.-11-考点一利用基本不等式证明不等式考点一考点二考点三考点四【例1】设a,b均为正实数,求证:1𝑎2+1𝑏2+ab≥22.证明:由于a,b均为正实数,所以1𝑎2+1𝑏2≥21𝑎2·1𝑏2=2𝑎𝑏.当且仅当1𝑎2=1𝑏2,即a=b时等号成立.又因为2𝑎𝑏+ab≥22𝑎𝑏·ab=22,当且仅当2𝑎𝑏=ab时等号成立,所以1𝑎2+1𝑏2+ab≥2𝑎𝑏+ab≥22,当且仅当1𝑎2=1𝑏2,2𝑎𝑏=ab,即a=b=24时取等号.-12-考点一考点二考点三考点四方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.-13-考点一考点二考点三考点四举一反三1已知x0,y0,z0.求证:𝑦𝑥+𝑧𝑥𝑥𝑦+𝑧𝑦𝑥𝑧+𝑦𝑧≥8.证明:∵x0,y0,z0,∴𝑦𝑥+𝑧𝑥≥2𝑦𝑧𝑥0,𝑥𝑦+𝑧𝑦≥2𝑥𝑧𝑦0,𝑥𝑧+𝑦𝑧≥2𝑥𝑦𝑧0,∴𝑦𝑥+𝑧𝑥𝑥𝑦+𝑧𝑦𝑥𝑧+𝑦𝑧≥8𝑦𝑧·𝑥𝑧·𝑥𝑦𝑥𝑦𝑧=8.当且仅当x=y=z时等号成立.-14-考点二利用基本不等式求最值考点一考点二考点三考点四【例2】(1)已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得𝑎𝑚𝑎𝑛=4a1,则1𝑚+4𝑛的最小值为(A)A.32B.53C.256D.不存在解析:设正项等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由𝑎𝑚𝑎𝑛=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故1𝑚+4𝑛=16(m+n)1𝑚+4𝑛=56+164𝑚𝑛+𝑛𝑚≥56+46=32,当且仅当n=2m时等号成立.-15-考点一考点二考点三考点四(2)设0x2,则函数y=𝑥(4-2𝑥)的最大值为2.解析:∵0x2,∴2-x0,∴y=𝑥(4-2𝑥)=2·𝑥(2-𝑥)≤2·𝑥+2-𝑥2=2,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号.∴当x=1时,函数y=𝑥(4-2𝑥)的最大值是2.-16-考点一考点二考点三考点四方法提炼利用基本不等式求最值的注意事项:1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个方面,即“一正——各项都是正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个方面缺一不可.2.若无明显“定值”,则用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.3.对于求分式型的函数最值题,常采用拆项使分式的分子为常数,有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式,这种方法叫分离常数法.-17-考点一考点二考点三考点四举一反三2已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(𝑎+𝑏)2𝑐𝑑的最小值是4.解析:∵x,a,b,y成等差数列,∴a+b=x+y.∵x,c,d,y成等比数列,∴cd=xy,则(𝑎+𝑏)2𝑐𝑑=(𝑥+𝑦)2𝑥𝑦=𝑦𝑥+𝑥𝑦+2≥4(x0,y0),当且仅当𝑦𝑥=𝑥𝑦,即x=y时取等号.故答案为4.-18-考点三基本不等式中的含参类问题考点一考点二考点三考点四【例3】已知a0,b0,若不等式2𝑎+1𝑏≥𝑚2𝑎+𝑏恒成立,则m的最大值等于(B)A.10B.9C.8D.7解析:由已知可得,m≤(2a+b)2𝑎+1𝑏恒成立,即m≤2𝑎𝑏+2𝑏𝑎+5恒成立,∵2𝑎𝑏+2𝑏𝑎+5的最小值为9,∴m≤9,∴m的最大值为9.-19-考点一考点二考点三考点四方法提炼不等式恒成立问题要根据不等式的形式进行适当的变形,有的可用分离参数法来解决,有的可数形结合来分析,总之,不等式恒成立问题的解决关键在于转化.-20-考点一考点二考点三考点四举一反三3若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈0,12成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-52D.-3答案解析解析关闭法一:设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=-𝑎2.当-𝑎2≥12,即a≤-1时,f(x)在0,12上是减函数,应有f12≥0,解得a≥-52,∴-52≤a≤-1.当-𝑎2≤0,即a≥0时,f(x)在0,12上是增函数,应有f(0)=10恒成立,解得a≥0.当0-𝑎212,即-1a0时,应有f-𝑎2=𝑎24−𝑎22+1=1-𝑎24≥0恒成立,解得-1a0.综上,a≥-52.法二:原式可化为a≥-𝑥+1𝑥,x∈0,12恒成立,由x∈0,12,得-𝑥+1𝑥∈-∞,-52,∴a≥-52.答案解析关闭C-21-考点四基本不等式的实际应用考点一考点二考点三考点四【例4】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解解关闭(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为𝑦𝑥=12x+80000𝑥-200≥212x·80000𝑥-200=200,当且仅当12x=80000𝑥,即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.(2)不获利.设该单位每月获利S,则S=100x-y=100x-12𝑥2-200x+80000=-12x2+300x-80000=-12(x-300)2-350000.故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.-22-考点一考点二考点三考点四方法提炼基本不等式实际应用题的特点:(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.-23-考点一考点二考点三考点四举一反三4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积解解关闭设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为2160×1042000𝑥=10800𝑥.∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10800𝑥=560+48𝑥+225𝑥(x≥10),当x+225𝑥取最小时,y有最小值.∵x0,∴x+225𝑥≥2𝑥·225𝑥=30,当且仅当x=225𝑥,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y有最小值2000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.-24-12341.f(x)=x+1𝑥-2(x0),则f(x)有(C)A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析:∵x0,∴-x0,∴x+1𝑥-2=-(-𝑥)+1-𝑥-2≤-2(-𝑥)·1-𝑥-2=-4,当且仅当-x=-1𝑥,即x=-1时等号成立.-25-2.下列不等式一定成立的是(C)A.lg𝑥2+14lgx(x0)B.sinx+1sin𝑥≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1𝑥2+11(x∈R)解析:lg𝑥2+14lgx⇔x2+14x(x0),即4x2-4x+10.当x=12时,4×122-4×12+1=0,∴A错;当sinx=-1时,sinx+1sin𝑥=-22,∴B错;x2+1≥2|x|⇔(|x|-1)2≥0,∴C正确;当x=0时,1𝑥2+1=1,∴D错.1234-26-3.(2014届河北保定高三上学期月考)若直线