新课程理念下中考“压轴题”的风韵

新课程理念下中考“压轴题”的风韵一、函数、几何综合型压轴题风光依然二、几何操作型压轴题备受青睐三、图表信息型压轴题占一席之地四、方案设计型压轴题初露锋芒五、阅读探究型压轴题崭露头角六、立体图形压轴题初露端倪新课程理念下中考“压轴题”的风韵一、函数、几何综合型压轴题风光依然例1.（2003年杨州市中考题）已知点P是抛物线的任意一点，记点P到X轴的距离为d1点P与点F（0，2）的距离为d2（图1）（1）猜想d1、d2的大小关系，并证明；（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。①试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并。2114yx理由。②以PQ为直径的圆与y轴的交点为A、B，OA·OB=1，求直线PQ对应的函数解析式。P'Q'图2xyACBMFOQP图1xyFOQP二、几何操作型压轴题备受青睐例2（2003年绍兴市中考题）已知∠ABC=90°.OM是∠ABC的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB交于点C、D。①在图3（1）中，证明PC=PD;②在图3（2）中，点G是CD与OP的交点，且求△POD与△PDG的面积比。（2）将三角板的直角顶点P放在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三形与△OCD相似，在图3（3）中作出图形，试求OP的长。（1）MPDOCA（2）MPDOCAG（3）MBOA图4DEMPOCBA图5MOPHGFEDCBA图3例3(04年江西省中考压轴题)如图6,在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、CD上，AE=DF=2.现把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0°线MN与EF重合；若将量角器0°线上的端点N固定在点F上,在把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α(0°α90°）,此时量角器的半圆弧与EF相交于点P,设点P处量角器的读数为n°(1)用含n°的代数式表示∠α的大小(2)当n°等于多少时,线段PC与MˊF平行？（3）在量角器的旋转过程中，过点Mˊ作GH⊥MˊF，交AE于点G,交AD于点H。设GE=a150120906030PO’HGOFCDEABM。图6X,ΔAGH的面积为S,求出S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。例4(04年大连市中考压轴题）如图7，⊙O1和⊙O2内切于点P，C是⊙O1上任一点（与点P不重合）。实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O1，另一条直角边所在直线交⊙O2于点A、B，直线PA，PB分别交⊙O1于点E、F，连结CE（图15是实验操作备用图）。O2O1PO2O1PO2O1P图7图8探究：（1）你发现有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现;（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现。附加题：如图8，若将上述问题的⊙O1和⊙O2由内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？并证明。CE、CF三、图表信息型压轴题占一席之地例5（04年吉林省中考压轴题）如图9（1）所示,在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动D停止.点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,P的速度为每秒1cm,点Q的速度每秒2cm,a秒时,点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为每秒bcm,点Q的速度变为每秒dcm.图6(2)是点P出发x(S)后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系CDABPQxy04024a8cxy04022图9(1)图9(2)图9(3)图象;图9(3)是点Q出发x(s)后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数图象.(1)参照9（2）,求a、b及图9（2）中C的值;(2)求d的值；(3)设点Ｐ离开点Ａ的路程为y1(cm),点Ｑ到点Ａ还走的路程为y2(cm),请分别写出动点Ｐ、Ｑ改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式，并求出Ｐ、Ｑ相遇是x的值。(4)当点Ｑ出发＿＿＿＿＿秒时，点Ｐ、点Ｑ在运动路线上相距的路程为25cm.例6（04年吉林省中考压轴题）如图10，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）的正方形。如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止。请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2。CDAB四.方案设计型压轴题初露锋芒例7（2004年陕西省中考压轴题）李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图11）,鱼塘四个角的顶点A，B，C，D上各有一棵大树,现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大）,又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。（1）图若按圆形设计,利用图4画出你所设计的图形，并求出圆形鱼塘的面积；图5图4ACBCBDAEHDGF（2）若按正方形设计，利用图5画出你所设计的正方形鱼塘示意图；（3）你在（2）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面积？为什么？（4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？例8(2003年大连中考压轴题）问题：要将一块直径2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。操作：方案一：在图7中，设计一个使圆锥底面最大，半圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；方案二：在图8中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；图8图7OOABBA探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。AOBO2O1O3DCAOBO3O2O1五、阅读探究型压轴题崭露头角例9(2004年吉林省中考压轴题)已知抛物线l：y=ax2+bx+c（其中a,b,c都不等于0）,它的顶点P的坐标是（）,与y轴的交点是M（0，c）.我们称M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为l的伴随直线。（1）请直接写出抛物线y=2x2－4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式。伴随抛物线的解析式是；伴随直线的解析式是。（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是Y=－x2－3和y=－x－3，则这条抛物线的解析式是。（3）求抛物线l：y=ax2+bx+c（其中a,b,c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。24,24bacbaa（4）若抛物线l与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＞x2＞0,它的伴随抛物线与x轴交于C，D两点，且AB=CD，请求出a、b、c应满足的条件。例10（2003年安徽省中考压轴题）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为α﹑β，要求“正度”的值是非负数.同学甲认为：可用式|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近三角形．同学乙认为：可用式|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；探究：（１）他们的方案哪个较为合理，为什么？（２）对你认为不够合理的方案，请加以改正（给出式子即可）；（３）请再给出一种衡量“正度”的表达式。六、立体图形压轴题初露端倪例11（2004年淮安市中考压轴题）如图13,一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽计）。（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图6,在盒子内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE，EC1。昆虫如果沿路径A—E—C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图7中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）CC1D1DB1A1ECC1D1DB1A1ABBA图13（2）如图14，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行,同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）E4E2E3E1ECC1D1DB1A1BA2X2XXXE3EFDD1A1FBB1A1B1AACC1C1图14y2yy2yD1E2CC1DE4BCDAB1AC1FBF例12（2003年山东省中考压轴题）图15,是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别BC1、BE交于点M、N，且图15被直线MN分成面积相等的上、下两部分。（1）求的值;（2）求MB、NB的长；（3）将图15沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图16)后，求点M、N间的距离。图8-22DD1C1CA1B1ND1C1B1A1D2C2FCADEBBAMM11MBNB图15图16新课程理念下中考“压轴题”的风韵综览2003年中考压轴题，不难发现命题者在依据《义教大纲》及认真贯彻教育部关于中考命题指导意见的同时，努力渗透新课程的理念。一批批时代气息浓厚，背景鲜活，贴近生活，关注社会热点问题的中考压轴题，象一道亮丽的风景线映入人眼帘，丰富的题型，生机盎然的呈现形式，令人赏心悦目，展示了中考压轴题多姿多彩的新风貌。一、函数、几何综合型压轴题风光依然通过对手中拥有的近几年的大量中考试题的研究，发现蕴涵多种思想方法的函数、几何结合型的综合题仍是中考压轴题的主流。如03年扬州市中考压轴题。例1.已知点P是抛物线的任意一点，记点P到X轴的距离为d12114yx点P与点F（0，2）的距离为d2（图1）图1xyFOQP（1）猜想d1、d2的大小关系，并证明；（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。①试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；②以PQ为直径的圆与y轴的交点为A、B，若OA·OB=1，求直线PQ对应的函数解析式。（2003年杨州市中考题）略解（1）猜想：d1=d2.简证：设P（)是上的任意一点，则0，所以d1=y0；由勾股定理得，而∴0,0xy2114yx200114yx222002)dPFxy2044,oxy2214444oooodyyyyd（2）①以PQ为直径的圆与x轴相切（图2）。P'Q'图2xyACBMFOQP设PQ的中心为M,分别Q、M、P作x轴的垂线，垂足分别为Q’、C、P’。易证MC为梯形PQQ’P’的中位线。∴''111222MCPPQQPFQFPQ∴以PQ为直径的圆与x轴相切。②设直线PQ对应的函数解析式为y=kx+b，因为点F（0，2）在PQ上，所以b=2,所以y=kx+2.y=kx+2,联立消去y得：x2-4kx-4=0(*)记点P（）、Q（），则是方程(*)的两个实数根，∴.2114yx0,0xy1,1xy0,1xx014xxk∵⊙M切x轴于点C，与y轴交于点A、B，∴OC2=OA·OB=1,∵OC0,∴OC=1,∴点C的坐标为C（1，0）或（-1，0），又点C是线段P'Q'的中点，故当点C坐标为（1，0）时，X0-1=1–X1,∴X0+X1=2，即4k=2,∴k=;当点C的坐标为（-1，0）时，X0-（-1）=（-1）–X1∴X0+X1=-2，12即4k=-2,∴k=;∴所求直线PQ对应的函