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1《等差数列》典型教学设计研究山东省阳谷第二中学高中数学方家斌证书编号：080580联系电话：13869566831【课程分析】数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，也是高中数学知识结构中的重要组成部分，同时起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。等差数列是在学生前面学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广，这无疑给学生继续学习研究等比数列的定义和性质奠定了坚实的基础，提供了很好的研究方法。本节的重点是理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题及体会等差数列与一次函数之间的关系。难点是对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。【学情分析】本班是高二文科普通班，数学基础较薄弱，逻辑推理能力有待于提高。但学习态度端正、课堂气氛热烈，敢于表达自己对问题的看法和观点，积极参与课堂的合作学习和探讨。本节等差数列的规律性较强且与生活联系密切，这能使学生对本节课的学习和探究产生浓厚兴趣。根据学生的思维特征和知识基础，在通项公式推导过程及方法和从函数、方程角度理解通项公式可能有一定的困难，但只要注重了适当的“诱”，提供恰如其分的导向性信息，相信学生能度过这一探究和理解的难关。【设计思路】本节课以张熊飞教授的《诱思探究学科教学论》为指导,并采用多媒体课件辅助教学，充分发挥学生的主动性和积极性，使学生通过分析利用各种信息和信息资源，自主探究、主动求知，使学生成为课堂的主人。结合本节课的特点，用学生感兴趣的实际问题创设情境，学生通过观察具体而简单的等差数列中相邻两项之间的关系，探索等差数列的基本特征。然后引导学生通过独立思考和分组探究相结合的形式积极地探究等差数列的定义和通项公式，发挥学生的主观能动性，让学生体验到合作探究的乐趣。最后让学生运用等差数列的定义和通项公式解决一些简单的问题加以巩固本节的知识，同时对等差数列通项公式和一次函数的图象加以对比，让学生更深刻的了解等差数列的通项公式的本质。对干本节课的难点——等差数列通项公式的推导，首先通过对一个具体的等差数列通项公式的推导方法的探究，为总2结等差数列｛ａｎ｝的通项公式铺平道路,这样就将本节课难点化难为易。处理等差数列｛ａｎ｝的通项公式与一次函数之间关系时也利用类似的方法,同时利用多媒体演示两图象间的关系,更有利于学生直观形象的理解二者间的关系。整个教学过程中,安排学生重点合作探究的有三点,即探究定义,通项公式,等差数列｛ａｎ｝的通项公式与一次函数之间的关系。探究时留给学生足够时间独立思考，注意学生个人的潜能的挖掘和开发，并且引导小组活动，鼓励生生合作，在和谐的课堂氛围中集体的优势得以体现,更注重各小组内的合作探究成果并给予适当的鼓励。【学习目标】1.记住并体会等差数列定义、等差中项的定义，能利用等差数列的通项公式解决较简单的有关问题。2.通过通项公式的推导，体会数列学习中常用的一种方法——迭加法；通过探究等差数列的通项公式和一次函数的图像，体会二者之间内在联系。【教学流程】一、创设情境，激发情意：【课件投影】仔细观察各实例中的每组数据，你能发现他们有何共同的规律？独立思考，举手发言。1.奥运会女子举重项目共设置了7各级别，其中较轻的4的级别的体重组成数列：48，53，58，632.我国现行的储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利息×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成数列：10072，10144，10216，10288，103603.通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。3其中温度值组成数列：28，21.5，15，8.5，2（设计意图：由以上三个有趣的问题、有规律的三组数据，激发学生的学习兴趣和探索新知的欲望，同时通过对以上三组数据的观察，让学生对等差数列有初步的感性认识。）二、合作交流，探究规律:（一）探究规律，引出概念【课件投影】观察由以上三个事例得出的数据，探究以下问题，请分组讨论，各小组代表发言。1.根据情境二、三中数据的规律分别估计六年活期本利和、珠峰峰顶的气温（海拔约为8844.43米）。2.总结三数据的共同特征，将它们的规律浓缩为一句话。说出以下三数列的首项和公差。（1）48，53，58，63（2）10072，10144，10216，10288，10360（3）28，21.5，15，8.5，2（设计意图：先让学生回答第一个问题，培养学生迅速归纳推理的能力；第二个学生由几个规律性较强的数据总结出一句话的结论，培养学生的语言概括能力，由此可总结出等差数列的定义，让学生了解等差数列的公差、首项的概念。）（简要实录：第一个问题学生回答迅速，以抢答形式回答出了珠峰峰顶的温度约为-24°C，第六年末的本利和为10432元。第二个问题安排学生独立思考、分组讨论交流、由各小组代表叙述讨论结果。大致有两种表述：相邻两项的间隔相同；相邻两项后项与前项的差是定值。再让学生评论两种表述，一致认为是第二种表述更恰当。这样就引出等差数列的定义。）【课件投影】等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个同一常数d为公差，a1为数列的首项。（二）等差中项概念的探究和形成：【课件投影】思考:在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：这个数叫做等差数列的等差中项。那么得出等差中项的最好方法是什么？（1）2，()，4（2）-12，()，0（设计意图:引出等差中项的定义。）（实录简要：学生很快说出答案。）4【课件投影】如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2abA（三）等差数列的通项公式【课件投影】小组合作交流，并展示本组讨论的结果。试以等差数列的定义为根据，写出数列2，5，8，11，14……的通项公式。（提示：即用n来表示an，要求学生首先独立思考、小组内讨论、小组代表发言。）（设计意图：推导等差数列的通项公式是本节课的难点，由具体的等差数列总结出其通项公式，这一过程将分解了本节难度。）（实录简要：整个讨论过程激烈而有序，各小组均有不同的见解。如：六组代表只是说出其想法：即根据观察可得:各项均为3的倍数减去1.二组代表杨琳琳板书其推导过程：∵a1=2+0×3,a2=2+1×3,a3=2+2×3,……，故an=2+（n-1）×3∴an=3n-1一组：孙磊板书过程：a2-a1=3a3-a2=3a4-a3=3……an-an-1=3以上各式左右分别相加得：an-a1=3（n-1）故通项公式为：an=3n-1对于以上各组学生得出的结论均给予肯定，由于时间原因，只让孙磊同学讲解了他们的推导思路，全班同学给予热烈的掌声。）(四)【课件投影】类比前面具体问题的推导过程，独立完成下列问题。如果数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d,如何用a1、d、n来表示an，即5求数列{an}的通项公式。请按照前面孙磊同学的推理方法予以推理。(设计意图：学生刚完成了数列2，5，8，11，14……的推导，再来推导数列{an}的通项公式，实际就是培养学生由特殊到一般的归纳思想。)(简要实录：学生独立完成，大部分学生均能独立完成，结束后，选出部分完成较好的向其他学生展示，同时多媒体也展示推理过程。)三、迁移应用，能力提升（一）【课件投影】利用等差数列的通项公式解答下列问题。小组内合作完成，由代表展示。1.（1）8，5，2，……的第20项。（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？（设计意图：训练学生由部分数据确定等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式，再利用通项公式解决简单的问题。）（简要实录：提示学生写出数列的通项公式，有两名学生板书解题过程。）2.某市出租车的计费标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？（设计意图：应用所学知识解决生活中的实际问题。）（实录简要：解决此类问题的难点是建立适当的数学模型，需要对学生适当的提示，否则学生很容易列出函数模型。提示学生题中数据有等差数列的特征，即每增加1km，乘客需要多支付1.2元。根据提示学生独立完成，再组内交流，查缺补漏。学生解题过程中出现最多的是解题步骤不规范，数列模型叙述的模糊，没有说出所建等差数列{an}而直接说出说出首项a1、公差d,多媒体展示解题过程，学生纠正。）3.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列。（设计意图：（1）利用等差数列的定义证明一数列是等差数列；（2）为下步研究等差数列的通项与一次函数的关系做好准备。）（简要实录：学生独立完成，两学生板书解题过程。提示学生要紧扣等差数列的定义。学生积极投入解题，两学生的板书也非常规范。）（二）揭露实质：探究等差数列的通项公式和一次函数的关系。61.【课件投影】在同一坐标系分别作出等差数列an=2n-4和y=2x-4的图象。说出：（1）an=2n+1的图象是____________;（2）y=2x+1的图象是_____________;（3）两图象之间有什么关系？（设计意图：让学生通过作图亲身感受等差数列的通项与一次函数的关系。）（简要实录：学生独立完成两图象，小组内相互对照自己所做的图象，总结等差数列的通项与一次函数的关系。学生一致得出：等差数列an=2n-4的图象为直线y=2x-4上的点。如右图。）2.【课件投影】试总结等差数列an=pn+q与y=px+q两图象之间的关系。（设计意图：由特殊到一般总结规律。）（简要实录：学生经过短时间的讨论得出结论。）【课件投影】等差数列的图象为相应直线上的点。如右图：（三）巩固提高，检查成果：【课件投影】你会了吗？1.等差数列的相邻四项依次为a+1，a+3，b,a+b，则a,b的值分别等于（)A.2，7B.1，6C.0，5D.无法确定2.在数列{an}中a1=2，2an+1=2an+1，则a11=.3.在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？（设计意图：巩固等差数列的定义、等差数列的通项公式、及等差中项的应用。）（简要实录：教师提示：二三两题注意应用等差数列的通项公式。学生独立完成，部分学生回答，教师纠正，多媒体出示答案。）（四）布置作业，课外延伸【课件投影】1.在等差数列{an}中，（1）已知a1=2,d=3,n=4,求an；（2）已知a1=3，an=21,d=2,求n；（3）已知a1=12，a6=27,求d；2.在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增高1km,气温就下降某一个固定数值。如7果1km高度的气温是8.5°C，5km高度的气温是-17.5°C，求2km,4km,8km高度的气温。（设计意图：进一步巩固等差数列的通项公式、定义。）【课后反思】近两年来，我一直在学习张熊飞教授的《诱思探究学科教学论》并不断的实践于课堂。张教授的“教师为引导，学生为主体，体验为主线，思维为主攻”的理论精髓、“整体感知——自主探究——迁移升华”的认知层次，符合学生认知规律，由课堂反馈的信息充分印证了这一点。起初刚用“诱思探究”教学论设计课堂时，说句实话，总感觉只不过是教学形式的一种“花架子”，好看不中用，但用了一段时间后，感觉到不仅课堂气氛比以前好了很多，一些“后进生”的学习兴趣被周围的学生带动了起来，积极的参与到问题的研讨中，而且最后达标效果也非常理想，学生回答问题更主动了，课堂一下