方程与不等式-中考数学二轮考点复习专题2

专题二方程与不等式一、考点综述考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用考纲要求：熟练解方程和方程组；简单运用一元二次方程根的判别式以及根与系数关系；列方程和方程组解应用题；熟练解不等式或不等式组以及列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题。考题分值：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．备考策略：对于方程与不等式的知识的复习，关健在于扎实基本概念和基本知识。在对应用题的复习时一方面要弄清题目中的已知、未知以及它们之间的关系；另一方面要弄清基本关系量及变式，还要善于找出其中的相等关系式，还可以使用图表等多种方式来帮助分析问题。二、例题精析例1解方程：224111xxxx．【解题思路】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．原方程变形为)1)(1(4121xxxxx方程两边都乘以)1)(1(xx，去分母并整理得022xx，解这个方程得1,221xx．经检验，2x是原方程的根，1x是原方程的增根．∴原方程的根是2x．【答案】2x．【规律总结】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．例2．.03,04222xyxyx【解题思路】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．②xyx①yx.03,04222由方程①可得022yxyx，∴02,02yxyx或.它们与方程②分别组成两个方程组：04022xyxyx04022xyxyx解方程组04022xyxyx可知，此方程组无解；解方程组04022xyxyx得42422221yxxx所以原方程组的解是42422221yxxx【答案】42422221yxxx【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．例3如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．【解题思路】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图．由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点，∴EF是弓形高∴AE=AB2123，EF=2．设半径为R米，则OE=(R－2)米．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2=22)32()2(R．解得R=4．∵sin∠AOE=23OAAE，∴∠AOE=60°，∴∠AOB=120°．∴弧AB的长为1804120=38．∴帆布的面积为38×60=160（平方米）．【答案】160（平方米）．【规律总结】方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．例4已知方程组2,231yxmyxm的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（）A．m≥－43B．m≥43C．m≥1D．－43≤m≤1【解题思路】由题意，可求出752,71mymx，代入2x+y≥0，解得m≥－43．或者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得43147mxy，得07432myx，解得m≥－43．【答案】选A．【规律总结】本题一般做法是把m看作是已知系数，用含m的代数式表示x、y，解出方程组的解，然·EFOBAOBA·图乙图甲AB2米43米60米后再把所求的x、y的值入题目中的不等式，从而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解．例5．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．（1）据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．（2）若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低．【解题思路】（1）设生产A种产品x件，B种产品)50(x件．按这样生产需甲种的原料290)50(103360)50(49xxxx，∴.30,32xx即：3230x．∵x为整数，∴,32,31,30x∴有三种生产方案．第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．（2）第一种方案的成本：62800)2010303(120)204309(80（元）．第二种方案的成本：62360)1910313(120)194319(80（元）．第三种方案的成本：61920)1810303(120)184329(80（元）．∴第三种方案成本最低．【答案】（1）第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．（2）第三种方案成本最低．【规律总结】解决本题的关键在于找出生产A种产品和B种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本．三、综合训练一、选择题1.不解方程判断下列方程中无实数根的是()A.-x2=2x-1B.4x2+4x+54=0;C.2230xxD.(x+2)(x-3)==-52.若,是方程2220070xx的两个实数根，则23的值（）A．2007B．2005C．－2007D．40103．某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10004.一元一次不等式组xxx332312的解集是（）A．-2＜x＜3B．-3＜x＜2C．x＜-3D．x＜25．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集（）A．121xB．323xC．x+1≥-1D．-2x＞46．关于x的方程632xa的解是非负数，那么a满足的条件是()A．a＞3B．a≤3C．a＜3D．a≥3二、填空题1.已知方程组xyaxyb的一组解是23xy，则其另外一组解是．2.3名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则5名同学一共需要______比赛．3．不等式132x的解集是__________________．4．当x_________时，代数代x32的值是正数．5．不等式组312134xxxx的解集是__________________．6．不等式0103x的正整数解是_______________________．7．2x的最小值是a，6x的最大值是b，则.___________ba8．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________b_____________．三、解答题1．已知关于x、y的方程组myxyx212．（1）求这个方程组的解；（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1．2．已知方程组172652yxkyx的解为负数，求k的取值范围．3．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度0.5元交费．①该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）？②下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：月份用电量（度）交电费总数（元）3月80254月4510根据上表数据，求电厂规定A度为多少？4．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?5．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？答案一、选择题1．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B项中254164444bac＜0，所以B项方程无实数根）2．B（提示：因为,是方程2220070xx的两个实数根，则220072，把它代入原式得2007232007，再利用根与系数的关系得2，所以原式=2005）3．D（提示：第一季度1000万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加）4．C（提示：不等式①的解集为x＜2，不等