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懂法才可用法深入方能浅出——二年级上册《四则混合运算》典型错例分析及教学对策作者：万林峰单位：浙江省绍兴市上虞区永和镇中心学校邮编：312371联系电话：13858583526办电：（0575）89288128《混合运算》是新版人教版小学数学第四册第五单元的内容，教参指出：这单元是学生系统掌握简单的整数四则混合运算顺序（两步）的重要单元，是将实验教材二年级下册“解决问题”与四年级下册第一单元“四则运算”进行整合重新编排的一个单元，在实验教材中，正式教学混合运算在后，而用两步计算的解决问题的内容在前，而且教材淡化了对于混合运算的脱式计算的书写规范要求，对于何时开始要求学生列综合算式解决问题也没有统一的规定，老师在教学时较难把握。基于此，修订后的教材重新设计了混合运算教学的顺序，编排了这个单元，提前正式教学混合运算。把原本四年级的四则运算提前到二年级来上，对于二年级的学生来说，要弄懂四则运算的运算法则（特别是没有小括号的两级运算的运算法则）并能够熟练运用是一件非常困难的事情。在新课后的《课堂作业本》里，出现了大面积的由于没有准确理解四则运算的两种不同情况，导致没有很好地掌握四则运算顺序而出现的典型错例。一、典型错例错例1：《课堂作业本》第33页第3题，下面的计算对吗？对的在括号里面画勾，错的画叉，并把不对的改正过来。4＋16÷48÷2×4＝20÷4＝8÷8＝5（）＝1（）两个班级79个学生当中，只有38位学生都发现了错误并订正正确（全对率48.1%）；有18位学生认为两道题目都是正确的（全错率22.8%）；8位学生只认为第2题错误并订正正确；5位学生只认为第1题错误并订正正确（错其中1题的达16.5%）。错例2：《课堂作业本》第35页第2题，比较每组上、下两题的运算顺序，再计算，其中的第1组。28－14÷7（28－14）÷7这组题中的后一题基本上都做对（除个别数字计算错误），前面一题两个班79个学生当中有21个学生先算减法，再算除法，计算过程与后面一题一样（错误率为26.6%），做对的学生发现有7个同学是在做了后面一题后发现答案一样，感觉不妥，再修改了前面一题的运算顺序。二、错因试析上面两组错题的共同点就是“加、减法在前，除法在后的两级运算”的运算顺序搞错（先算左边的，再算右边的）。为何会有这样的集体性“失明”，通过课后与学生的个别谈话和个人思考，我把原因定为以下三点。1.前期经验的负迁移在学习这单元的知识前，我们在遇到两步计算的题目都是“同级运算的”题目，都是从左往右算的，学生已经形成了解决两步计算题目的习惯（从左往右算）所以在碰到这种题目时第一时间想到的是尝试着从左往右去算一算，看看能不能算，能算就算，不能算再说。因此，当遇到“乘、除法在前，加、减法在后”的题目时运算顺序不容易搞错，而在遇到“加、减法在前，乘、除法在后”的题目时会先进行“试算”，如果试算可以算，就不去思考真正的运算顺序了，如果不行，再去换一下运算顺序。2.题目数字本身隐藏着的“欺骗性”上面两组题目的数字本身具有很大的“欺骗性”，当学生尝试着先用从左往右的方法进行计算的时候也能迅速地算出答案（虽然答案是错的，但由于学生没有学过对四则运算答案的有效检验方法，所以也搞不清楚答案的对错）。3.教学中忽视了低段学生对运算法则的细节理解除了前期经验的负迁移和数字本身的迷惑性之外，学生对运算法则的理解及熟练程度不够是最主要的原因。新版教材第48页当中总结到：在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。运算法则的记忆是容易的，理解才是重要的，不理解的记忆只是“死记硬背”。对于许多二年级的学生来说，“如果有乘、除法，又有加、减法”这句话的意思是非常模糊的，在碰到如“4+16÷4”这类题目时搞不清楚这究竟是不是“有乘、除法，又有加、减法”，所以会先根据前期经验尝试着从左往右算一算再说。4.学生缺少“抛开数字本身去分析运算顺序”的能力和习惯学生在计算四则运算的题目时，经常是先去观察题目的数字是什么，比如“28－14÷7”这题，学生先看到的往往是数字“28”、“14”和“7”，而不是运算符号“－”和“×”及对应的运算顺序，所以就经常会受到这些数的“欺骗”而搞错运算顺序。三、改进策略构想学生前期经验的负迁移是数学教学中的常见现象，这种现象的改善是需要结合新知的熟练掌握和运用来改善的，而不是可以一蹴而就的。题目数字本身的欺骗性是由于学生缺少“抛开数字本身去分析运算顺序”的能力才发挥作用的。因此，我把这节跟进练习课的教学重点定为：更加生动形象、具体清晰地理解“有乘、除法，又有加、减法”这句话的意思，正确判断两种不同的运算形式，并培养学生“抛开数字去分析运算顺序”的习惯。四、教学实践（一）用字母代替数字，表征“有乘、除法，又有加、减法”的意思。课件出示用字母代替数字的一组算式：A－B÷CA－B×CA+B÷CA+B×CA÷B－CA÷B+CA×B－CA×B+C学生在教师发下的练习纸上用横线划出第一步先算什么，全班交流正确答案：A－B÷CA－B×CA+B÷CA+B×CA÷B－CA÷B+CA×B－CA×B+C（设计意图：这组题目包含了所有的“又有乘、除法，又有加、减法”情况，而且是有顺序地呈现，而用字母代替数字的目的就在于学生可以抛开数字本身去思考和分析运算顺序，避免受到一些数字的欺骗。）（二）交流小结“有乘、除法，又有加、减法”的意思。师：这8个算式有什么共同点？生：都是先算乘、除，再算加、减。师（追问）：不错！为什么这些算式都要先算乘、除法，再算加、减法？生：因为这些算式都是“有乘、除法，又有加、减法”的题目。师（追问）：什么叫“有乘、除法，又有加、减法”？（设计意图：这两个追问是有必要，特别是后面一个追问“什么叫有乘、除法，又有加、减法”是最重要的。因为学生对这句话的理解直接影响着对这句话的记忆。从对错例的调查谈话中了解到许多学生对这句话的理解是模糊的、不确定的，甚至是完全错误的。所以，这个时候基本上的学生就说不清楚了，虽然一些同学明白这句话的意思，但要用语言表达清楚对于二年级学生来说是非常不容易的。）师（反向引导）：“有乘、除法，又有加、减法”是不是说一个算式里又要有乘法和除法，又要有加法和减法？生（齐答）：不是！师（追问）：那是什么？（教师指着刚才的8个算式，提醒学生仔细观察）（设计意图：“有乘、除法，又有加、减法”这句话让二年级的孩子来理解，是需要借助许多的例子和表象的，让学生观察上面用字母代替数字的8个算式，正是考虑到让孩子有例子可看，有表象可循，有助于学生对这句话进行理解。）生（安安静静地过了大约半分钟）：“有乘、除法，又有加、减法”的意思就是乘、除法其中的一种和加、减法其中的一种在一起。（这位学生是本班里语文表达能力与数学思维能力都非常强的一位学生，能够把这句话说完整也在我的预料之中，我故意让学生多思考一会儿，是让更多的孩子参与进观察、思考的过程中来。）师（故意不语），等待全体学生慢慢思考并理解。师（大约过了6、7秒，问一位同学）：同意吗？生：同意！师：你能再说一遍“有乘、除法，又有加、减法”的意思吗？生：略。（三）图像表征“有乘、除法，又有加、减法”的意思板书出示：＋×－÷师：谁能用连线的方式来表示一下“有乘、除法，又有加、减法”意思？生板书：＋×－÷师：非常正确！看到这个，你想起了我们以前学过的什么数学知识？生：搭配问题！师：不错！乘、除法里面的一种与加、减法里面的一种“搭配”在一起就是“有乘、除法，又有加、减法”的时候。（设计意图：用连线的方式表征“有乘、除法，又有加、减法”的意思是考虑到二年级孩子的思维还处在具体形象思维的阶段，用语言解释不如用图表的形式解释来得更具体、更生动、更直观，而且这样也可以培养孩子的符号感。然后，再让学生联系以前学过的“搭配”的知识，更加有助于加深学生对对“有乘、除法，又有加、减法”的印象。）（四）反向表征“有乘、除法，又有加、减法”的意思师：那哪些情况不属于“有乘、除法，又有加、减法”？生：只有加、减法，或只有乘、除法的时候以及有小括号的时候。师：能像上面这样用字母代替数写一写“只有加、减法，或只有乘、除法”的算式吗？学生在纸上尝试写出“只有加、减法或只有乘、除法”的情况，教师巡视了解情况。（用字母代替数字写算式，对于二年级学生来说有些难度，不过由于有前面的例子可能参考，而且我也经常用字母代替数字的方法进行教学，所以孩子基本上也能写出来。）全班交流小结：A－B－CA+B+CA－B+CA+B-CA÷B÷CA×B×CA×B÷CA÷B×C图象表征：＋×－÷（五）巩固练习1.教师出示写在卡片上的有具体数字的四则运算的算式，学生判断是“有乘、除法，又有加、减法”的算式，还是“只有加、减法，或只有乘、除法”的算式，并贴在相应的地方。8×6÷610+15÷521－8+228+15-512－8÷44+3×518÷3×212－3×324÷8－220÷4+15×7－33×4+52.看题目抢答：第一步先算什么？教师课件出示四则运算的题目，学生站起来抢答先算哪一步。16－8÷28+1×516÷2×213－4×536÷8－230÷5+13×7－38×3+66×4÷28+12÷420－18+218+12-2（设计意图：让学生把卡片上的题目贴在相符合的地方，是让学生再次结合具体算式进行“分类归档”。从字母过渡到数字，学生容易受到数字的干扰从而影响判断。所以，让学生再次看算式说说属于哪种情况，是让学生建立起“符号——情况”的联系，从而在以后的四则运算中形成“先看符号辨情况，再判断运算顺序”的习惯，抢答的目的也是让学生学会首先要观察一道算式的运算符号，再分析运算顺序。）五、跟进练习后记跟进练习结束后，结合前面典型错题题型及自己的思考，进行了后测，后测内容分两块进行：1．找一找，把编号写在横线上。（1）15－10÷5（2）5+3×6（3）18÷3×6（4）12－3×3（5）16÷8－4（6）16÷4+4（7）9×2－3（8）3×4+5（9）4×6÷3（10）6+12÷3（11）18－7+3（12）28+15-5“有乘、除法，又有加、减法”的算式：“只有加、减法或只有乘、除法”的算式：先算乘法的是：先算除法的是：先算加法的是：先算减法的是：（设计意图：学以致用！学习的效果如何，要从实践中才能看的出来。上面16个题目都是经过精心设计的，每道题目的数字都非常具有欺骗性，学生如果不从符号入手分析去分析顺序，而是先去看数字就很容易弄错。）【效果显示：两个班级，79个学生，前两根横线有74个学生全对（全对率93.7%），剩下的学生都选错其中的1－2题，说明学生基本上已经能够分析每个四则运算算式属于哪种类型了，学生对四则运算没有小括号的两种不同情况的建模还是相当成功的。后四根横线，共68个学生全对，4个学生选错其中的1－2题，6个学生选错了3题，1个学生选错了5题。说明本节练习课对“有乘、除法，又有加、减法”的算式的理解及建模相当成功，学生基本上能够准确地根据运算符号来分析运算顺序。】2．判一判。（1）“3+(5×4)”和“3+5×4”的第一步都是先算“5×4”（）（2）“（15-6）×2”和“15-6×2”的第一步都是先算“15-6”（）（3）“5×4+4”和“5×（4+4）”的第一步都是先算“4+4”（）（4）“7+15-10”和“7+(15-10)”的第一步都是先算“15-10”。（）（5）“15÷5－2”和“15÷（5－2）”的第一步都是先算“5－2”（）（6）“12+13－10”和“（12+13）－10”的第一步都是先算“12+13”（）（设计意图：每道判断题的设计都是数字与运算符号一样，只是一个有小括号，一个没有小括号的两题的对比分析。有小括号的题目，先算小括号里面的；没有小括号，就要分析运算符号了。这样的对比练习更容易使学生产生两题第一步是一样的错觉，可以进一步培养学生的观察、分析和比较能力及抗外部干扰能力。）【效果显示：两个班级，79个学生，全部判断准确的有65个，占82.3%，其中第（1）题全对，正确率是100%；第（2）题