成本最小化(范里安微观经济).

19、成本最小化CostMinimization19.1成本最小化（CostMinimization）min,xxwxwx1201122fxxy(,).12s.t.求解可得：),,(),,(21*2*221*1*1ywwxxywwxx，被称为有条件的要素需求函数或派生的要素需求（conditionaldemandsforinputs1and2）。注意：在计算成本时，应确保所有生产成本都已包括在内，并且确保被计量的一切数据在时间标度上是可比较的。),,(),,(21*2*221*1*1ywwxxywwxxcwwywxwwywxwwy(,,)(,,)(,,).**1211122212成本函数成本函数c(w1,w2,y)就是指当要素价格为（w1,w2）时，生产y单位产量的最小成本。等成本线（Iso-costLines）所有成本相等的要素投入组合点的轨迹。wxwxc1122xwwxcw21212.经整理可得：斜率：-w1/w2纵截距：c/w2c’w1x1+w2x2c”w1x1+w2x2c’c”x1x2Slopes=-w1/w2.成本最小化问题可重新表述为：求出等产量线上的某一点使之与尽最低的等成本线相联系。x1x2f(x1,x2)y’x1*x2*最优选择等成本线斜率＝－w1/w2等产量曲线最优条件：**1211**2122(,)(,)MPxxwTRSMPxxw柯布－道格拉斯生产函数yfxxxx(,).//12113223求使其成本最小化的要素投入组合。已知(x1*,x2*)满足以下两个条件：yxx()()*/*/113223（a）wwyxyxxxxxxx12121232231132132113232//(/)()()(/)()().*/*/*/*/**（b）yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可知,xwwx21212**.yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可知,xwwx21212**.将其代入（a）可得：yxwwxwwx().*/*//*113121231223122yxx()()*/*/113223wwxx12212**.(a)(b)由(b)可知,xwwx21212**.将其代入（a）可得：yxwwxwwx().*/*//*113121231223122xwwy121232*/xwwx21212**xwwy121232*/这是企业对要素2的条件需求。由x*//是企业对要素1的条件需求。可知xwwyxwwywwywwy1122122123121322**//(,,),(,,),.要素的条件需求曲线x1x2y’’’y’’y’xy1*()*1()xyxy1*()产量扩展曲线x1*yy’y’’y’’’xy1*()xy1*()*1()xy几个例子－完全替代－完全互补－柯布－道格拉斯技术完全互补技术**12xxy1212(,,)cwwywywy最小成本将是：21,minxxyx1x2min{4x1,x2}y’4x1=x2x1x24x1=x2min{4x1,x2}y’x1x2x1*=y/4x2*=y4x1=x2min{4x1,x2}y’cwwywxwwywxwwywywywwy(,,)(,,)(,,).**1211122212121244完全替代技术1212(,)yxxxxx1x212ww若，厂商只用要素2122(,,)cwwywyx1x212ww若，厂商只用要素1121(,,)cwwywy1212(,,)min,cwwywywy12min,wwy柯布－道格拉斯技术1212(,)abfxxAxx11212(,,)ababababcwwykwwy其成本函数为：19.2显示的成本最小化假设有两组要素价格和，12(,)ttww12(,)ssww12(,)ttxx12(,)ssxx假定上述两种选择都生产同样的产量y,如果每种选择都属于成本最小化的选择，则有：与此相关的厂商的选择为和11221122tttttstswxwxwxwx11221122ssssststwxwxwxwx（1）（2）如果厂商总是选择成本最小的方法生产y单位的产量，那么式（1）和（2）必定满足。这被称为成本最小化弱公理（WACM）。将式（2）左右两边乘以－1，加到式（1）上，整理可得：111222()()tsttstwwxwwx111222()()tsstsswwxwwx11220wxwx（3）若20w，式（3）就变成：110wx这表明要素1的有条件的要素需求曲线向下倾斜。19.3规模报酬和成本函数厂商技术的规模报酬特性决定了平均成本函数。假设一个追求成本最小化的厂商初始产量为y’。问题：如果产量增加为2y’，厂商的平均成本如何变化？不变的规模报酬和平均成本在不变的规模报酬技术下，产量加倍，要求所有的要素投入量也加倍。总成本加倍。AC（＝TC/y）保持不变。规模报酬递减和平均成本在递减的规模报酬技术下，产量加倍，要求所有的要素投入量增加大于2倍。总成本的增加超过2倍。AC（＝TC/y）递增。规模报酬递增和平均成本在递增的规模报酬技术下，产量加倍，要求所有的要素投入量小于2倍。总成本的增加小于2倍。AC（＝TC/y）递减。y规模报酬递减AC(y)规模报酬不变规模报酬递增递减的规模报酬和总成本y$y’2y’c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=AC(y’).y$y’2y’c(y’)c(2y’)c(y)y$y’2y’c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=AC(y’).递增的规模报酬和总成本y$y’2y’c(y’)c(2y’)c(y)y$c(y)y’2y’c(y’)c(2y’)=2c(y’)斜率=c(2y’)/2y’=2c(y’)/2y’=c(y’)/y’AC(y’)=AC(2y’).不变的规模报酬和总成本19.4长期成本和短期成本Long-Run&Short-RunTotalCosts短期成本函数指在只有可变生产要素可以调整的情况下，生产既定水平的产量的最小成本；长期成本函数表示在一切生产要素都可调整的情况下，生产既定产量的最小成本。长期成本最小化问题：短期成本最小化问题：min,xxwxwx1201122fxxy(,).12minxwxwx101122fxxy(,).12长期成本函数S.t.S.t.要素1的短期要素需要函数为：2222111),,,(xxyxwwxxs这表明按任何既定的要素价格和产量选择厂商所能雇佣的工人数量通常取决于工厂的规模。22221112),,,(),(xwyxwwxwxycs长期要素需要函数为：),,(),,(21*2*221*1*1ywwxxywwxx长期成本函数为：),,(),,()(21222111ywwxwywwxwycs短期成本最小问题实际上是在x2=x2’的约束条件下求长期成本最小。长期成本函数可以写成：表示当所有要素都可变动时的最小成本，恰好就是要素2固定在使长期成本最小化的水平上时的最小成本。短期成本函数与长期成本函数的关系))(,()(2yxycycs如果厂商对要素2的长期选择恰好是x2’，则生产产量y所需的长期总成本和短期总成本相同。如果厂商对要素2的长期选择不是x2’，则在短期约束条件x2=x2’将阻碍厂商达到长期生产成本，从而导致生产相同的产量y,厂商的短期生产成本大于长期生产成本。x1x2y’’’y’’y’长期产量扩展曲线x1x1x1x2x2x2长期成本x1x2y’’’y’’y’长期产量扩展曲线cywxwxcywxwxcywxwx()()()112211221122x1x1x1x2x2x2x1x2y’’’y’’y’短期产量扩展曲线x1x1x1x2x2x2短期成本x1x2y’’’y’’y’短期产量扩展曲线x1x1x1x2x2x2短期成本cywxwxcywxwxcywxwx()()()112211221122长期成本：cycycycycycysss()()()()()()短期成本：短期总成本大于长期总成本，除非短期要素2的投入量恰好等于其长期最优投入量。这意味着长期总成本曲线与短期总成本曲线之间存在一个公共点。2()(,())scycyxyyc(y)yyycs(y)Fwx22短期成本线长期成本线c