第五章劳斯判据

本章主要内容系统（运动）稳定性概念(Stability)熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据静态误差计算(StaticError)有关定义和计算二阶动态系统的运动特征(SecondOrderDynamicSystem)各类性能指标定义和二阶系统运动分析第五章线性定常连续系统分析5.1控制系统的稳定性分析控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定；控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞时，其输出也是有界值；线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。5.1.1系统稳定性的概念及条件一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。解析方法－求解系统的特征方程高阶系统求解困难劳斯稳定判据5.1.2劳斯(E.J.Routh)稳定判据已知系统的特征方程式为：00111asasasannnn(1)系统特征方程式的系数必须皆为正—必要条件；(2)劳斯行列式第一列的系数全为正—充分条件；(3)第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。劳斯行列式：043214321432175316424321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnnnnnnnnnn,13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab,17613nnnnnaaaaab,121311bbaabcnn,121211ccbbcd131512bbaabcnn,141713bbaabcnn,131312ccbbcd系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：00111asasasannnn例5.1利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。102118712)()(234ssssssRsY解：它的特征方程式是：01021187234ssss特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式：劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的4个根为：jsss73.015.1,76.2,94.14,32101234sssss0217101810100001010517157105例5.2若一系统的特征方程为：05432234ssss利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。解：列写劳斯行列式：该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。系统的4个根为：jsjs42.19.2,87.029.14,32,1符号改变一次→符号改变一次→01234sssss04253105006051几种特殊情况（1）第一列有零值出现用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的符号变化次数；若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出；若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。014222345sssssS5121S4241S300S210S100S00002121114系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。特征根（Matlab:c=[122411];roots(c))例5.3例5.4015106322345sssss试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：计算劳斯行列式如下：15621031012345ssssssε→0首列整理为:1510/25/521012345ssssss系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。方程解为：1.3690j0.9073--1.84231.5272j0.82844,532,1sss1515101230253056205/2符号改变一次→符号改变一次→（2）某行的系数都为零l表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根大小相等，符号相反；l利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式P（s），然后由的系数代替零行，继续劳斯行列式的计算；dssdP)(l辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以通过求解辅助方程求出那些对根。例5.505025482422345sssss试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：解：计算劳斯行列式0123455048225241ssssss辅助多项式：50482)(24sssP00求p(s)对s的导数:ssdssdP968)(3导数方程的系数代入s3行。896507.1125024)2)(5)(5)(1)(1(sjsjsss原方程5007.1125024)96(0)8(05048225241012345ssssssjss5,1例5.6可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：50482)(24sssP行列式第一列系数符号变化一次，说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。0)1)(25(22ss辅助方程是系统特征方程的一个因子式。5.1.3劳斯稳定判据的应用1、判断系统的稳定性2、分析系统参数对系统稳定性的影响解题思路：1、列出闭环传递函数2、写出闭环特征方程式3、利用劳斯行列式判断例5.7控制系统方块图如图所示，确定能保证该系统稳定的K值范围。KssssKsRsY)2)(1()()(2解：系统的闭环传递函数为：R(s)Y(s)﹣)2)(1(2ssssK其闭环特征方程为：劳斯行列式为：02331K为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足:,0279K914K即01234sssssKKK)7/9(23/7因此，保证系统稳定的K值范围是。9/140K0233234Kssss(2)若要求闭环极点全部位于s=-1垂线的左侧，求K的取值范围。例5.8已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)177()(20sssKsG(1)确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求振荡频率。分析：(1)若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。系统的振荡频率就是此根的虚部值。1'ss(2)只要把虚部向左平移1，构成新的s’复平面:用劳斯判据求出所有落在s’平面的根对应的K值。-10[s][s’](1)确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，确定振荡频率。解：（1）系统闭环传递函数)(1)()(00sGsGsG闭KsssK17723劳斯行列式：007K11971710123KssKss,07119K令由为零的上一行组成辅助方程：则K=119。07)(2KssP可求出：。17,17,172njss（振荡频率）)177()(20sssKsG119？解：（2）代入闭环特征方程：,1'ss令,0)1'(17)1'(7)1'(23Ksss011'6'4'23Ksss劳斯行列式：01104K35114610'1'2'3'KssKss,011035KK令则有11K35。当11K35时，所有闭环极点落在s=-1垂线左侧。(2)若要求闭环极点全部位于s=-1垂线的左侧，求K的取值范围。？KsssKG17723闭