成都理工弹性波动力学考试

本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。第一章仿射正交张量§1.1指标记号及两个符号一、指标记号1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：ei，空间内任一点坐标：xi，今后会遇到的应变张量ije、应力张量ij等。2、求和约定例：空间内任一点P的向径可表示为：31122331iiixxxxxeeee（1）在（1）式中可发现是对指标i从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为：112233iixxxxxeeee（2）这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。例1：ijijtn该例中，同一项中指标j有重复且只重复一次，所以为哑标。另一指标i不参与求和约定，称其为自由指标。该式展开为：i=1时，11111212313jjtnnnni=2时，22121222323jjtnnnni=3时，33131232333jjtnnnn自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。例1中，由于只有一个自由指标i，所以实际上它代表有133个表达式；右端项只有一个哑标j，所以该项展开后是133项的和。例2：112233iiAAAA例3：1122SSS需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标）。针对指标记号的练习题：练习1：写出jkijikABC（23个方程，每个方程右端有13个累加项）练习2：12ijijWe（03个方程，23个累加项）二、两个符号1、Kronecker符号ij1,0,ijijij写成阵列的形式即为：100010001ijKronecker符号的特点：（1）ijji(2)ijijee(3)1122333ii(4)jijiaa(5)kjikijAA(6)ikkjij例4：向量iiaae和iibbe，有：iiiababe注意：可作为求和约定中“同一项”的分隔符iijjijijijijiiabababababeeee注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b的下标换成了j。2ijijiiaaaaaaa2、排列符号（置换符号）：112311230ijkijkeijkijk为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时所以1232313121eee，1323212131eee，其余21个值为0.123还有：ijkjkikijkjijikikjeeeeee例5：123231312,132,,,eeeeeeeeeeee则有：ijijkkeeee例6：向量iiaae和iibbe，有：iijjijijijkijkababeababeeeee则ijkijkeabab针对两个符号的练习题：练习3：已知iie，和为常数，试将此式开展：2ijijWe§1.2坐标变换旧系：123oxxx，单位基向量：ie新系：123oxxx，单位基向量：ie坐标变换系数：cos,ijijijeeee新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,iijjijijeeee新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,iijjijijxxxx向量f，在旧系下的分量if，新系下的分量为if，其坐标变换规律为：,iijjijijfxff向量的解析定义：若有3个量，它们在123oxxx和123oxxx的分量分别为if和if，当两个坐标系之间的变换系数为ij时，if与if之间按式,iijjijijfxff变换，则这3个量有序整体形成一个向量f，此3个量为向量f的分量。§1.3张量的定义一、张量的定义1、0阶张量（标量）：03个分量，在旧系下为123,,xxx，新系下123,,xxx，当进行坐标变换时满足123123,,,,xxxxxx。2、一阶张量（向量）：13个有序分量，满足,iijlijijaaaa3、二阶张量：23个有序分量，满足,ijimjnmnijminjmnTTTT记ijTT，写成阵列形式为：111213212223313233ijTTTTTTTTTTT4、n阶张量，同上练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P8,例1.3-1）。练习5：P27,题1-5练习6:P27,题1-6二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：iiaaeijijTTeeijkijkBBeee§1.4张量的代数运算1、张量的相等2、张量相加减3、张量乘积r阶张量A,s阶张量B。它们的乘积C=AB为（r+s）阶张量乘积的运算性质：（1）服从分配律：ABCACBC（2）服从结合律：ABCABC（3）不满足交换律：ABBA4、张量的缩并在r（2r）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。例7：112233kiikkkkbAAAA缩并一次减少2阶5、张量的内积r（0r）阶张量A和s（0s）阶张量B的乘积中，对分别属于A和B的指标进行一次缩并，称如此所得的2rs张量为张量A与B的内积，记为AB，约定：对张量A的最后一个指标和张量B的第一个指标进行。例8：知210122031ijA，向量1,2,2ib。求内积ijjAb和iijbA§1.5商法则设一组数的集合,,,,Tijklm，若它满足对于任意一个q阶张量S(如q=2，任意阶张量分量为lmS)的内积均为一个p阶张量U（如p=3，三阶张量ijkU），即在任意坐标系内以下等式均成立：,,,,lmijkTijklmSU（对l，m应用了求和约定），则这组数的集合,,,,Tijklm必为一个pq阶张量。§1.6几种特殊张量对称二阶张量：ijjiAA反对称二阶张量：ijjiCC引入kjijkiCec12iijkkjceC球张量及偏张量：1133ijkkijijkkijAAAA各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。§1.7二阶张量的特征值和特征向量Tnn1iinn0ijijjTn§1.8张量分析简介标量：,tx；向量：,tax；,tTx1、对时间的导数：tTT=2、张量场的梯度：,kijijijkkijkgradTTxTTeeeeee3、张量场的散度：,ijkjkijijidivTTxTT=eeee4、张量场的旋度：,,kljljkljkkljiklljkijcurlTxTeTTTeeeeeeee5、散度定理：VSdivdVdSunu,iiiiVSudVnudSVSdivTdVdSnT,ijiiijVSTdVnTdS练习7：题1-9第二章弹性波动力学绪论一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物体无初应力。第三章运动和变形§3.1弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径：,txxx或,iixxtx位移：,tuux,,ttuxxxx,,iiiutxtxxx,,ttxxxux,,iiixtxutxx例1：例3.1-1练习1：题3-2练习2:题3-3§3.2质点的速度和加速度,,ttvxux,,,tttaxvxux§3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：222jikkijijijjiijuuuudsdsdxdxEdxdxxxxx定义12jikkijjiijuuuuExxxx格林应变张量ijjiEE例2：例3.3-1练习3：题3-4§3.4小变形情形的应变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量：,,12ijijjieuu二、小变形位移的分解：1122QPjjiiiijjjijiuuuuuudxdxxxxx令转动张量：12jiijjiuuxxQPiiijjijjuudxedx（刚体平移+刚体转动+变形位移）QPiiiduuu例3：例3.4-1例4：例3.4-2练习4：题3-7练习5：题3-8§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化一、正应变（线应变、相对伸缩）ijijeenn例5：例3.5-1练习6：题3-6练习7：题3-11二、过一点的两个线元之间夹角的变化cosiinn初始两线元夹角余弦cos21cosijijennee变形后两线元夹角余弦例6：例3.5-2练习8：题3-10§3.6小变形应变张量的几何解释一、11e的几何解释：质点P处原来沿ox1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P处沿ox1轴方向的正应变。（22e、33e同理）——正应变分量二、12e的几何解释：变形中点P处原来沿ox1轴和ox2轴方向的两线元之间角度（原为2）改变量的一半。（23e、31e同理）——剪应变分量三、iie的几何解释：变形中点P处每单位体积的体积改变。iieu——该公式的推导§3.7主应变，应变不变量若过点P的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩，则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应变。0ijijjeen0ijijee§3.8相容性条件,,,,0ijklklijikjljlikeeee§3.9应变球张量及应变偏张量13ijkkijijee13ijijkkijee张量13kkije为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变，只是体积发生变化；ij为应变偏张量，描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加。第四章应力分析§4.1体力及面力体（积）力：0limVVFpf连续分布作用于弹性体每个体元上的外力（表）面力：0limSSNt连续分布作用于弹性体表面上的力§4.2应力向量用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面力分布作用于整个截面上。截面上取包含P点的面元，面元的外法向向量为n0limSSNt应力向量,,tttnx2iittt当x和t固定，而使n取一切可能值时，就得出时刻t过向径为x的点所有各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x改变时，就给出弹性体内各个点的应力状态，即为应力场。一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有：nstn——面元上的正应力，s——剪应力分量ntn22sstnnnsnt例1：例4.2-1§4.3应力张量一、应力向量