无界区域上简单反常二重积分的计算

上一页目录下一页退出§8.4无界区域上简单反常二重积分的计算与一元函数在无限区间上的反常积分类似,如果允许二重积分的积分区域D为无界区域(如全平面，半平面，有界区域的外部等)，则可定义无界区域上的反常二重积分．定义设D是平面上一无界区域，函数f(x,y)在其上有定义，用任意光滑曲线Γ在D中划出有界区域，如下图所示.设f(x,y)在上可积，当曲线Γ连续变动，使无限扩展趋于区域D时，不论Γ的形状如何，也不论扩展的过程怎样，若极限DDD上一页目录下一页退出lim(,)dDDDfxyσ存在且取相同的值I，则称I为f(x,y)在无界区域D上的反常二重积分，记作(,)dlim(,)dDDDDfxyσfxyσI此时也称反常二重积分收敛，否则称反常二重积分发散．(,)dDfxyσ(,)dDfxyσ上一页目录下一页退出为了简化计算，常常选取一些特殊的DΓ趋于区域D．例1设D为全平面，已知收敛，求其值．22edxyDσ解设为中心在原点，半径为R的圆域，则RD222222()0001edded2e1e2RRxyrrRRDσθrr显然，当R→+∞时，有→D,因此有RD22222)()edlimedlim1eRxyxyRRRDDσσ（上一页目录下一页退出例2证明．ed202xx证如右图所示，令{,0,0},Dxyxaya︱222{,,0,0},Dxyxyaxy１︱2222{,2,0,0},Dxyxyaxy︱则有eddeddedd22222212()()()xyxyxyDDDxyxyxy上一页目录下一页退出而eddededed22222()2000()aaaxyxyxDxyxyx由例1知edde2221()(1)4xyaDxyedde2222()2(1)4xyaDxy，从而得eede222220(1)()(1)44aaxax令得a20ed.2xx