无穷级数知识点

复习1无穷级数1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1limnknkSu存在，称级数收敛。2.若任意项级数1nnu收敛，1nnu发散，则称1nnu条件收敛，若1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.2.任何级数收敛的必要条件是lim0nnu3.若有两个级数1nnu和1nnv，11,nnnnusv则①1()nnnuvs，11nnnnuvs。②1nnu收敛，1nnv发散，则1()nnnuv发散。③若二者都发散，则1()nnnuv不确定，如111,1kk发散，而1110k收敛。4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：a)等比级数：0111nnararr,收敛，r发散，b)P级数：11pnn收敛，p1发散，p1c)对数级数：21lnpnnn收敛，p1发散，p15.三个重要结论①11()nnnaa收敛limnna存在②正项（不变号）级数na收2na收，反之不成立，③2na和2nb都收敛nnab收，nnabnn或收6．常用收敛快慢复习2正整数ln(0)(1)!nnnnaann由慢到快连续型ln(0)(1)xxxxaax由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法11,lim1,lim0)1,nnnnnnlullul收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2.柯西根值法1,lim1,1,nnnnlullnl收发（当为某次方时）单独讨论3.比阶法①代数式1111nnnnnnnnnnuvvuuv收敛收敛，发散发散②极限式limnnnuAv，其中：1nnu和1nnv都是正项级数。1111111111•0•0•nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAuvuvvuuvAuvukvuvAvuvuuvvu是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。是的同阶无穷小和敛散性相同。是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。32211111222lnlnln1~~1111nnnnunnnnnnnnn，11132200012210113nnnnnxxdxudxxdxxxn，也可选用基准级数3121nn就可知原级8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧●莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）①lim0nnu②1nnuu0(1)nnnu收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则0(1)nnnu必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。●任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。复习3●任意项级数判敛的两个重要技巧：a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。bk阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，9.幂级数00()nnnaxx1．阿贝尔（Abel）定理如果级数0nnnax当200010,=00nnxxxxax因为显然收敛点收敛，则级数在圆域0xx内绝对收敛；如果级数0nnnax当1xx点发散，则级数在圆域1xx外发散。由阿贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除000xxx外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如推论：如果0nnnax不是仅在0x一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：1nnnxRxRxRxRRax当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知00()nnnaxx，若1limlimnnnnnnaaa或；则根据比值判敛法有：1000+11lim1=limnnnnnnaaxxxxxxRaa收敛收敛。●收敛半径R：11lim,000,nnnaaRRRx全平面收敛,=0只有一个收敛点。●收敛区间00,xRxR：级数在000,xxRxxRxR收敛；幂级数的收敛区复习4间是非空点集，对00()nnnaxx至少在0xx处收敛，对0nnnax至少在0x处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R上）收敛性待定，故收敛域是00,xRxR、00,xRxR、00,xRxR或00,xRxR四种情况之一。3．在收敛区域内的性质(1)0nnnax的和函数fx连续并有任意阶导数；(2)0n可逐项微分101'()()nnnnnnfxaxnax(3)0n可逐项积分10000()()1xxnnnnnnafxdxaxdxxn(4)0nnnax绝对收敛。11．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。①011nnuu(1,1)u②01(1)1nnnuu(1,1)u③0!nunuen(,)u④210sin(1)(21)!nnnuun(,)u⑤210cos(1)(2)!nnnuun(,)u⑥1111(1)ln(1)(1)ln2nnnnnuunn(1,1]u复习5⑦00(1)(1)(1)!nnnnnnuuCun(1,1)u⑧21301tan213nnuuuun…⑨2130(1)1arctan213nnnuuuun…[1,1]u⑩2111101011ln(1)1111111!1!!1!nnnnnnnnnnxxnxxxnxeennnn，5.幂级数求和方法●函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装●数项级数求和方法构造辅助幂级数法。付立叶级数1．周期函数展开成付里叶级数()fx为在,ll上周期为2l的周期函数，则011()cos()(cossin),12()sinlnlnnlnnlnafxxdxannllfxaxbxnllbfxxdxll其中特别地，当l时011()cos()(cossin)12()sinnnnnnafxnxdxafxanxbnxbfxnxdx其中当()fx是偶函数复习600100112()cos()cos212()cos()cos2lnnnnnnnxnxfxaaafxdxllllfxaanxafxnxdx当()fx是奇函数01012()sin()sin2()sin()sinlnnnnnnnxnxfxbbfxdxllllfxbnxbfxnxdx2．非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数fx只是定义在区间0,0,l或，两种区间可以令txl相互转换，为了利用付里叶级数展开，必须将fx拓展，其方式有两种，即：（1）偶拓展令()0()()0fxxlFxfxlx，使()Fx成为,ll上的周期偶函数，展开后取0xl上的函数值即为fx的付里叶展开。（2）奇拓展令()0()()0fxxlFxfxlx，使()Fx成为,ll上的周期奇函数，展开后取0xl上的函数值即为fx的付里叶展开。3．狄利克雷收敛定理设函数fx在,ll上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则fx的付里叶级数收敛。并且：01,00(cossin)22002nnnfxxfxfxaSxanxbnxxflflxl当为连续点，当为第一类间断点，当为区端点