无锡慧源高复学校2016高考数学模拟

-1-无锡慧源高复数学模拟试卷3本试卷满分160分,考试时间120分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.若a＋i1－i(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是____________．2.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∪B＝____________.3.命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是______(填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m＝4，n＝3，则输出的a＝__________.(第4题)5.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6.在约束条件0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1下，则x－2＋y2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2－y23＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sinA－sinBsinC的值是____________．9.已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__________.10.若函数f(x)＝2x，x＜0，－2－x，x＞0，则函数y＝f(f(x))的值域是____________．11.如图所示，在直三棱柱A1B1C1—ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1—ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，-2-则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12.已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为____________．13.在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x、y≠0)，则4x＋y的最小值是______________．14.设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝22.求证：(1)PA⊥平面EBO；(2)FG∥平面EBO.16.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cosx23cosx2－sinx2.-3-(1)设θ∈－π2，π2，且f(θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC中，AB＝1，f(C)＝3＋1，且△ABC的面积为32，求sinA＋sinB的值．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．(1)求椭圆E的离心率；(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3)若圆C的面积为π，求圆C的方程．18.(本小题满分16分)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋2(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．-4-19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1、a3、ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项．(1)若k＝7，a1＝2.①求数列{anbn}的前n项和Tn；②将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S12nn－22n－1＋3·2n－1的值；(2)若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、ak、am成等比数列，求证：k为奇数．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x＜0，lnx，x＞0，其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．-5-江苏省苏州中学2015-2016学年度第一学期期初考试数学II(理科附加)本试卷满分40分,考试时间30分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P.(1)求证：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.求证：∠OKM＝90°.B.选修4­2：矩阵与变换已知矩阵M＝1bc2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝23.(1)求矩阵M；(2)求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．C.选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为-6-ρcosθ－π4＝22.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．D.选修4­5：不等式选讲设x、y、z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．(1)求证：PN⊥AM；(2)若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．-7-23.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．(1)设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)求恰好得到n(n∈N*)分的概率．．-8-数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.－12.{x|x＞0}3.真4.125.26276.2557.①③④⇒②(或②③④⇒①)8.－129.210.－1，－12∪12，111.2412.(0,0)13.9414.{0,3,14,30}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15.证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．(1)因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC.因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA.在等腰三角形PAC内，O、E为所在边的中点，所以OE⊥PA.又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO.(2)连AF交BE于Q，连QO.因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以AOOG＝2，且Q是△PAB的重心，于是AQQF＝2＝AOOG，所以FG∥QO.因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO.【注】第(2)小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得．16.解：(1)f(x)＝23cos2x2－2sinx2cosx2＝3(1＋cosx)－sinx＝2cosx＋π6＋3.由2cosx＋π6＋3＝3＋1，得cosx＋π6＝12.于是x＋π6＝2kπ±π3(k∈Z)，因为x∈－π2，π2，所以x＝－π2或π6.-9-(2)因为C∈(0，π)，由(1)知C＝π6.因为△ABC的面积为32，所以32＝12absinπ6，于是ab＝23.①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcosπ6＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7.②由①②可得a＝2，b＝3或a＝3，b＝2.于是a＋b＝2＋3.由正弦定理得sinAa＝sinBb＝sinC1＝12，所以sinA＋sinB＝12(a＋b)＝1＋32.17.解：(1)设椭圆E的焦距为2c(c0)，因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，所以ba2＋b2＝13，于是a2＝8b2，即a2＝8(a2－c2)，所以椭圆E的离心率e＝c2a2＝78＝144.(2)由e＝144，可设a＝4k(k＞0)，c＝14k，则b＝2k，于是A1B1的方程为x－22y＋4k＝0，故OA2的中点(2k,0)到A1B1的距离d＝|2k＋4k|3＝2k.又以OA2为直径的圆的半径r＝2k，即有d＝r，所以直线A1B1与圆C相切．(3)由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k＝12.设OA2的中点(1,0)关于直线A1B1：x－22y＋2＝0的对称点为(m，n)，则nm－1·24＝－1，m＋12－22·n2＋2＝0.解得m＝13，n＝423.所以圆C的方程为x－132＋y－4232＝1.-10-18.解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意知，y2＝at＋2(x－t)＋8t＋4(t＞4)，所以y＝y2－y1＝at＋2(x－t)＋8t＋4－4x＋4(t＞4)．(1)当a＝－1，t＝5时，y＝－1＋2(x－5)＋85＋4－4x＋4＝－x＋81－4x＋4＋1≤－2481＋1＝59，当且仅当x＝14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．(2)y＝at＋2(x－t)＋8t＋4－4x＋4＝－－ax＋t＋2－4x＋4＋8t＋4－at＋t＋2≤－2－4at＋2＋8－at＋4，当且仅当－ax＋t＋2＝4x＋4，即x＝2－a(t＋4)－4时取等号，由题意2－a(t＋4)－4＞t，所以－4＜a＜0.注：使用求导方法可以得到相应得分．19.(1)解：因为k＝7，所以a1、a3、a7成等比数列．又{an}是公差d≠0的等差数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，整理得a1＝2d.又a1＝2，所以d＝1.b1＝a1＝2，q＝b2b1＝a3a1＝a1＋2da1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，bn＝b1×qn－1＝2n.①用错位相减法或其他方法可求得{anbn}的前n项和为Tn＝n×2n＋1；②因为新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项的和减去数列{bn}前n项的和，所以S12nn＝n－＋2n2－n－2－1＝(2n－1)(2n－1－1)．所以S12nn－22n－1＋3·2n－1＝－1.(2)证明：由(a1＋2d)2＝a1d，整理得4d2＝a1d(k－5)．因为d≠0，所以d＝a1