FINTS第四章线性ARMA模型

金融时间序列模型第四章：平稳线性ARMA模型基本概念随机过程stochasticprocess设T是某个集合，俗称足标集，对任意固定tT，Yt是随机变量，tT的全体{Yt；tT}称为T上的随机函数。记为{Yt}对每个固定的t，Yt是随机变量。通常T取为：1）T=[-,],T=[0,]2)T=…-2,-1,0,1,2,…T=1,2,3,…基本概念平稳随机过程（weaklystationary,covariancestationary,secondorderstationary）如果随机序列二阶矩有界，并且满足以下条件（1）对任意整数t，E(Yt)=，为常数；（2）对任意整数t和s，自协方差函数ts仅与t-s有关，同个别时刻t和s无关。即ts=t-s=k平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型白噪声过程MA过程AR过程ARMA过程平稳过程的参数自协方差和自相关函数偏自相关函数白噪声过程whitenoiseprocess随机过程满足1）E(t)=0，对所有t2）E(t2)=2对所有t3）E(ts)=0,对任意ts，或Cov(t,s)=0弱白噪声随机过程（Weaklywhitenoiseprocess），简称白噪声。记为{t}~WN(0,2)白噪声过程4）不同时刻随机变量是相互独立的随机变量，并且同分布称为独立白噪声，记为{t}~I.I.D(0,2)如果再增加一个条件5）服从正态分布该过程为高斯白噪声（Gaussianwhitenoiseprocess）。滑动平均模型MovingAverageModel1-阶滑动平均模型1tttYstEEEsttt,0)(,)(,0)(22其中1MA模型和为参数或系数。表达式1，是1－阶滑动平均模型，{Yt}是1-阶滑动平均过程。用MA（1）表示例如Yt=0.1+t＋0.3t－1MA(1)另一种表达方式本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。1tttttuuYq-阶滑动平均模型定义qtqtttY11其中t是白噪声过程2q-阶滑动平均过程称和i,i=1,2,…q为参数或系数。表达式2，是q－阶滑动平均模型，{Yt}是q-阶滑动平均过程。用MA（q）表示。注：q0q-阶滑动平均模型和过程下面是几个MA模型Yt=0.1+t＋0.2t－1＋0.1t－2Yt=0.1+t＋0.3t－1＋0.21t－2－0.1t－3Yt=0.1+t＋0.3t－4自回归模型AutoregressiveModelt=c+1t-1+2t-2+…+pt-p+t其中{t}是白噪声过程p0表达式3是P-阶自回归模型{t}为p-阶自回归过程,表示为AR(p)C,1,…,p是未知参数或系数。3自回归滑动平均混合模型MixedAutoregressiveMovingAverageModelt=c+1t-1+2t-2+…+pt-p+t+1t-1+…+qt–q其中{t}是白噪声过程p0,q0表达式4是P-阶自回归q－阶滑动平均混合模型{t}为p-阶自回归q阶滑动平均混合过程,表示为ARMA(p,q)C,1,…,p，1，…，q是未知参数或系数。4三类模型参数特征MA(1)参数特点均值函数：E（t）=自协方差函数：0=(1+2)21=2k=0,k1自相关函数：1=/(1+2)，k=0,k1MA(q)的参数特点E（t）=0=(1+12+…+q2)2qjjqqjjj1,)(211k=0,kq，k=0,kqqjqjqqjjj1),1/()(22111MA过程例下面是一个MA(2)模型,计算它的自相关函数，并画图t=t+0.2t－1＋0.1t－21＝（1＋21）/（1＋12＋22）＝（0.2+0.2*0.1）/(1+0.12+0.22)=0.22＝（2）/（1＋12＋22）＝0.1/(1+0.12+0.22)=0.095MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾自回归过程的参数特点均值函数E(t)==c/(1-1-2+…-p)自协方差函数0=11+22+…+pp+2j=1j-1+2j-2+…+pj-pj=1,2,3,…自相关函数j=1j-1+2j-2+…+pj-pj=1,2,3,…AR(1)过程的参数1)(cYEt2201221jjjjAR(1)参数t=0.1+0.5t-1+tt=0.1-0.5t-1+t=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)j=0.5jj=(-0.5)jARMA过程参数=c/(1-1-2+…-p)j=1j-1+2j-2+…+pj-pjqj=1j-1+2j-2+…+pj-pjq偏自相关函数一般的，偏相关系数如下定义：Yt与Yt-k的偏相关系数是去掉Yt-1，Yt-2，。。。Yt-k+1的线性影响后简单相关系数。用公式表示如下：*k=Corr(yt-E*(yt|yt-1，yt-2，。。。yt-k+1),yt-k)三种随机过程偏自相关函数的特点根据定义总有*1=1三类过程的偏自相关函数和自相关函数MA（q）AR（p）ARMA（p，q）自相关函数q步截尾拖尾拖尾偏自相关函数拖尾p步截尾拖尾滞后算子平稳条件，可逆条件，模型间变换滞后算子滞后算子(Lagoperators)或延迟算子（Backshift）滞后算子，用L表示。有的书上称为延迟算子，用B表示LYt=Yt-1滞后算子(1)L(LYt)=L(Yt-1)=Yt-2,记为L2Yt=Yt-2,一般的LkYt=Yt-k(2)与乘法可交换L(aYt)=a(LYt)(3)加法可分配L(Yt+Xt)=LYt+LXt(4)对常数列的运算等于他自身Lc=c(5)1Yt=Yt(6)(1-L)-1=1+L+2L2+…+kLk…当||1时。ARMA模型：用滞后算子表示t=c+1t-1+2t-2+…+pt-p+t+1t-1+…+qt–q用滞后算子表示为：在这种表达式下，下面讨论公因子，平稳条件和可逆条件tqtppcYLL)...1()...1(11ARMA模型：没有公因子例如下面的模型Yt=0.5Yt-1-0.04Yt-2+t-0.6t-1+0.05t-2（1－0.1L）(1-0.4L)Yt=（1－0.1L）(1-0.5L)t有公共因子，去掉公共因子，得到简化后的模型(1-0.4L)Yt=(1-0.5L)t用滞后算子表示ARMA模型，ARMA模型如果存在公因子，可以简化。ARMA模型：平稳条件特征方程(z)=1-1z-2z2-…pzp=0特征方程的根在单位圆外。有时特征方程表示为p-1p-1-2p-2+…-p=0如果特征方程的根在单位圆内，则模型平稳。使得模型满足平稳条件的参数所在的范围为平稳域.注：平稳性只与自回归系数1,…，p有关，与滑动平均系数无关。自回归模型的平稳域例下面的AR（2）模型是否平稳？t=0.6t-1-0.08t-2+t特征方程:1-0.6z+0.08z2=0根为5和2,都在单位圆外.所以平稳.或者用2-0.6+0.08=0根为0.4和0.2,都在单位圆内.所以平稳ARMA模型可逆条件模型可逆条件(z)=1＋1z＋2z2＋…＋pzp=0的根在单位圆外。可逆性只与滑动平均部分的系数有关，与自回归部分的系数无关。无穷阶滑动平均过程MA（q）可以用求和的形式表示qjjtjtY01,00jjtjtY无穷阶滑动平均过程.记为MA()无穷阶滑动平均过程无穷阶滑动平均过程是否一定平稳呢?不是.何时平稳呢?下面是一个充分条件:0||jjARMA模型表示成MA()t=c+1t-1+t+1t-1(1-1L)t=c+(1+1L)tt=(1-1L)-1c+(1-1L)-1(1+1L)tt=+(1+1L+21L2+…)(1+1L)t三个模型的关系MA,AR,和ARMA满足平稳可逆条件时，三者可以相互转化AR（p）——MA（）:Yt=(L)-1c+(L)-1tt前的系数称为格林函数或记忆函数MA（q）——AR（）:(L)-1Yt=(L)-1c+tYt前的系数称为逆函数ARMA（p，q）——MA（）:Yt=(L)-1c+(L)-1(L)t=(L)-1c+(L)/(L)tARMA（p，q）——AR（）:(L)-1(L)Yt=(L)-1c+t线性ARMA模型：总结t=c+1t-1+2t-2+…+pt-p+t+1t-1+…+qt–q(L)Yt=c+(L)t（1）p0，q0（2）满足平稳条件（3）满足可逆条件（4）没有公共因子(5)stEEEsttt,0)(,)(,0)(22ARIMA（p,d,q)过程和模型AutoRegressionIntegratedMovingAverage随机过程不平稳时，（从图形看不重复穿越一条水平线，样本自相关函数收敛速度慢）对不平稳的随机过程差分d次后平稳，注意不要过渡差分，差分以后满足一个ARMA(p,q)模型，则没有差分前的模型称为ARIMA(p,d,q)模型，满足该模型的随机过程称为ARIMA过程。建立ARMA模型建模步骤平稳化，采用差分的方法得到平稳的序列定阶，确定p，q的大小估计，估计未知参数检验，检验残差是否是白噪声过程预测，最后利用模型预测定阶假设数据已经平稳化，下一步是确定模型的阶数。有两种方法，一种是根据随机过程的参数特征，一种是根据信息准则。下面是几类随机过程的参数特征：白噪声-3-2-101235060708090100110120130140150Y1MA(1)Yt＝t＋0.5t－1-4-202420406080100120140YMAMA(1)的ACF和PACF-0.4-0.200.20.40.6123456789101112131415ACFPACFAR(1)Yt=0.6Yt-1+t-4-20245060708090100110120130140150YAR(1)的ACF和PACF00.10.20.30.40.50.60.7123456789101112131415ACFPACFARMAYt=-0.7Yt-1+t-0.7t-1-6-4-20246400420440460480500520540YARMA过程的ACF和PACF-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812345678ACFPACF随机游动Yt=Yt-1+t-4-202465060708090100110120130140150随机游动的ACACF123456789101112131415ACF练习：把下面的模型与后面的自相关函数图匹配起来(A)Yt=0.15Yt-1+t-0.7t-1(B)Yt=-0.15Yt-1+t(C)Yt=t+0.7t-1(D)Yt=t+0.7t-1-0.6t-2(E)Yt=1.7Yt-1-0.7Yt-2+t定阶00.20.40.61234567891000.20.40.60.812345678910定阶00.20.40.60.8112345678910-1-0.500.5112345678910-1-0.500.5112345678910定阶样本自相关函数的计算和判断TttyTy11