昆明理工数值分析试卷答案A20131222

第1页共4页昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）（A卷）一、填空题（每空2分，共40分）1．要使17的相对误差不超过%1.0，应取4位有效数字。2．设3()fxx在1,1上的最佳二次逼近多项式为34x，最佳平方逼近二次多项式为35x。3．求积公式)31()31()(11ffdxxf至少具有_3次代数精度。4．解线性方程组Axb的SOR迭代法收敛，则松弛因子有20，设,ULDA建立迭代公式fxLxkk)()1(，写出逐次超松弛迭代法))1(()(1UDLDL。5．100999998A，其条件数2()CondA39205，()CondA39601。6．设)2,3,1(X，计算向量X的范数，1||||X=6，2||||X14，||||X=3。7．求方程cosxx根的牛顿迭代格式是1cos1sinkkkkkxxxxx，其收敛阶=2。弦截法迭代格式是1111cos()coscoskkkkkkkkkkxxxxxxxxxx，其收敛阶=1.618。8．3232,01()21,12axxxSxxbxcxx是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a=0，b=-2，c=3。9．对矩阵214511242A作LU分解，其13720121001L，1200630242U。二、计算题（每题10分，共50分）第2页共4页1．求出一个次数不高于4次的插值多项式)(xP，使它满足,0)0()0(fP,0)0(')0('fP0)0()0(Pf，1)1(')1(,1)1(')1(PfPf，并写出余项表达式（要有推导过程）。解：由题意0)0()0(')0(PPP知，)(xP以0x为三次重根，所以可设)()(3baxxxP，由插值1)1(')1(PP条件得134,1baba所以得3,2ba，故)32()(3xxxP，设32332()()()()(1)()(23)()(1)tftPtKxttftttKxtt由,0)(,0)1(,0)1(,0)0(,0)0(,0)0(x反复用罗尔定理得在(0,1)上存在x，使,0)()5(即)(!5)()5(xKf，则!5)()()5(fxK，所以23)5(3)1(!5)()32()(xxfxxxf，余项为(5)32()(1)5!fxx。2．给定积分10sindxxxI（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过31021；（2）取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？解：由于10)cos(sin)(dtxtxxxf，所以1010)()2cos()cos()(dtkxttdtxtdxdxfkkkk故11|)2cos(||)(|1010)(kdttdtkxttxfkkk（1）对复合梯形公式，有31121|)(|12)(|][|223nfnabfR为了使截断误差不超过31021，只须18n2≥1000，解得n≥7.5。故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson公式，由于h=1/4=0.25，由于4(4)4111|[]||()|()180218085bahRff=1/3686400≈2.7127×10–7第3页共4页3.设1001005aAbba，det0A，用,ab表示解线性方程组Axf的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解：雅可比迭代法10010()0,10100010JabbBDLUa23||(),100JabIB3||()10JabB，则雅可比迭代法的充分必要条件是100||3ab。高斯-塞德尔迭代法120010()0,10010050050GaabbBDLUabab23||(),100GabIB3||()100GabB，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是100||3ab。4.已知如下实验数据4,,1,0),,(iyxii,用最小二乘法求形如2bxay的经验公式。ix1925313844iy19.032.349.073.397.8解：设yYxX,2，则数据表变为iX36162596114441936iY19.032.349.073.397.8则由方程iiiiiiYXXbXaYXba25，即5.369321727769953274.27153275baba解得05.0,973.0ba，所以经验公式为205.0973.0xy第4页共4页5.用梯形公式解初值问题)21(0)0(2xyyxxy取步长h=0.1,计算到3.0x。解：梯形法公式)),(),((2111nnnnnnyxfyxfhyy，计算1(0.1)0.0052,yy23(0.2)0.0214,(0.3)0.0494yyyy。三、证明题（共10分）设)(**xx,在*x的某个邻域R内)(x连续,并且Rxqx,1|)(|,则对任何Rx0,证明：（1）由迭代)(1kkxx决定的序列}{kx收敛于*x；（2）误差估计||1||01*xxqqxxkk.证明：))(()()(*1*1*xxxxxxkkk,所以||||||*0*1*xxqxxqxxkkk,则*limxxkk；11110|||()()|||||kkkkkkkxxxxqxxqxx同样||1||)(||||||||0101211211xxqqxxqqqxxxxxxxxkkpkpkkkpkpkpkpkkpk当p，则得*limxxpkp，即||1||01*xxqqxxkk。