明德中学数学竞赛培训第8讲 不等式(2)

第八讲：不等式（2）一、知识要点：（1）几个重要的不等式：均值不等式，柯西不等式，排序不等式，幂平均不等式，切比雪夫不等式（2）不等式证明的常用方法（3）不等式证明的常用技巧二、例题剖析：例题1：设任意实数aR,求证：654210aaaaa.例题2：(2010年武汉大学)设,,abcR，求证：1111abcababcbacc.:例题3：（2004年复旦保送）比较24log25与25log26的大小.例题4：（2009年科技大学）求证：对任意的实数,xyR，不等式223(1)xxyyxy总成立例题5：:证明：方程3321xy的任一组整数解(,)(0)xyy都满足13342xyy.例题6：设123123,,,,,aaabbb为正数，求证：2122123323113()abababababab1223131223314()()aaaaaabbbbbb例题7：（2008年西安交通大学）设实数:满足2223232abc，求证：39271abc.例题8：（2010浙江大学）有小于1的(2)nn个正数12,,nxxx，且121nxxx，求证：33311221114nnxxxxxx例题9：（2008浙江自招）已知0,0ab，求证：11112311(22nabababanbnabab补充1:((2009南京大学)p为三角形ABC内的一点,它到三边,,BCCABA的距离分别为123,,ddd,S为ABC的面积,求证:2123()2abcabcddds（,,abc为,,BCCABA三边的边长）例题10：（2008年南京大学）若正数,,abc满足1abc，求证：1111000()()27abcabc例题11：（2003年上海交大）证明不等式()!23nnnnn对一切6n都成立.补充2：已知1(1)nnxn，11(1)nnyn（1）求证：13nnxx；（2）12nnyy.例题13：设,,abcR，求333111(,,)()()()fabcabcabc在下列条件下的最小值.(1)1abc(2)3abc(3)6abc(4)abcA.例题14：设naR，且21nIias，令1niiaA，求证：311niiiasAan.例题15：设实数123,,nxxxx都是正数，求证：2221212123nnxxxxxxxxx.例题16：设,,abc是三角形的三条边，求证：3abcbcacababc变式：在ABC中，求证：sinsinsin3sinsinsinsinsinsinsinsinsinABCBCAACBABC.三、习题演练1.设1290aaa,证明:1293693aaaaaa.2.设,,abcR，求证：222bcacababcabcabc补充3：设ixR,(1,2,3in)求证：121212123()nnxxxxxxnnnxxxxxxx3.求证：对任意大于1的实数,,abc有logloglog92()bcaabcabbcacabc.补充4:(2008年复旦)已知三角形的面积为14，且他的外接圆的半径为1，设,,abc为该三角形的三条边长，令111uabc，vabc，则u与v的大小关系.补充5：（2005年上海交大）求证：不等式341sincos2xx，0,2.4.若,,xyzR,231xyz，求33316811827xyz的最小值.6.设,,,,,abcxyz为实数，且22225abc，22236xyz，30axbycz，求abcxyz.5.求三个实数,,xyz，使得它们同时满足下列方程：22231349215382xyzxyzxyz7.在ABC中，求证下列不等式成立：（1）()()32abcaAbBcCabc（2）3sinsinsin()2aAbBcCabc.8.设1,23,,,naaaa是互不相同的自然数，证明：321222211112323naaaann.9..正数,,abc，满足,abc，且1abc，求证：222351abc10.设123,,,naaaa都是正数，求证：32232112123121()()()nnaaaaaaaaaaaa补充6:(2003年复旦大学保送)设1,23,,,naaaa是互不相同的自然数,2a,求证:12111()()()2aaanaaa.补充7:2004年复旦保送)求证:3331111323n11.设实数,,xyz且02xyz，求证：2sincos2sincossin2sin2sin22xyyzxyz.:12设,,(0,1)abc，求证：(1)(1)(1)1abbcca13.求证：12341212341211111nnnnxxxxxxxxxxxxxxxx.14.已知,,abc为正数，4abc且4abbcac，求证：,,abbcca至少有一个不大于2.15.设(),()fxgx是定义在0,1上实值函数，证明：一定存在00,xy0,1，使得00001())4xyfxgy.