量子力学试卷

05级2学分A一、回答下列问题（每题5分，共30分）1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？2什么是束缚态？什么是定态？3试述电子具有自旋的实验证据。4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(21xx，写出下列概率：发现粒子1的位置介于x和dxx之间（不对粒子2进行观测）二、本题满分10分设单粒子定态波函数为)(1)(ikrikrkbeerr，试利用薛定谔方程确定其势场。三、本题满分12分利用厄米多项式的递推关系和求导公式：02211xnHxxHxHnnn，xnHxHnn12证明：一维谐振子波函数满足下列关系：)](21)(2[1)(11xnxnxxnnn/)],(21)(2[)(11mxnxndxxdnnn已知一维谐振子的波函数为：21212!2,22nNxHeNxnnnxnn四、本题满分12分一粒子在一维无限深势阱axaxxxU,,0,0,0,)（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。五、本题满分12分已知氢原子的电子波函数为)(),()(41),,,(2/11131zznlmmsYrRsrs)(),()(432/12032zsYrR。求在态中测量氢原子能量E、2L、zL、2s、zs的可能值和这些力学量的平均值。六、本题满分14分一维运动的粒子处于状态0,00)(,xxAxexx之中,其中0,A为待求的归一化常数,求：(1)归一化常数;(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。七、本题满分10分附：氢原子能量本征值：222024132neEn定积分：0!10nxnndxex，n为正整数球坐标系中：22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr05级2学分B一、回答下列问题（每题5分，共30分）1考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？2（1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？（2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(lmY是哪两个算符的共同本征函数？5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、本题满分14分设氢原子处于状态1212102321),,(rnlm,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。三、本题满分15分证明：)x3x2(e3)x(33x2122是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知。四、本题满分8分证明在zl的本征态下，0xl。五、本题满分15分设粒子限制在矩形匣子中运动，即0(,,){Vxyz，0xa,0yb,0zc其余区域，求粒子的能量本征值和本征波函数。六、本题满分10分求下列算符对易关系式：1)?ˆˆˆˆxxxxLPPL2)?ˆˆˆˆyxxyLPPL七、本题满分8分定义Pauli算符ˆ与自旋角动量算符Sˆ的关系为ˆ2ˆS，证明：izyxˆˆˆ附：氢原子能量本征值：222024132neEn06级2学分A一、填空（每空3分，共45分）1一维线性谐振子的能量本征值为。2动量的三个分量)p,p,(ppˆzyx的共同本征函数为。3自旋角动量算符Sˆ在空间任意方向上的投影只能取值为；2S=。4dd)sin,(θ)Y,(θYml*lm200。5德布罗意关系为。6波函数的标准条件为。7写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。8费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________性和_______性。9不考虑电子的自旋时，氢原子能级nE的简并度为。10电子具有自旋的实验证据包括。11坐标和动量的对易关系为xpˆ,xˆ______。12测不准关系2x2)p()x(_______。13一维空间两粒子体系的归一化波函数为)x,x(21，x1和x2分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子1的位置介于x和dxx之间（不对粒子2进行观测）的概率。二本题满分7分已知角动量的对易关系为zxyyxyxJˆiJˆJˆJˆJˆ]Jˆ,Jˆ[。证明：若一个算符Fˆ与角动量算符Jˆ的两个分量xJˆ和yJˆ对易，即满足0]Jˆ,Fˆ[x和0]Jˆ,Fˆ[y，则算符Fˆ必与Jˆ的第三个分量zJˆ对易，满足0]Jˆ,Fˆ[z。三本题满分8分厄密算符Fˆ的本征方程为Fˆ，试根据厄密算符的定义式d)Fˆ(dFˆ**，证明厄密算符Fˆ的本征值是实数。四本题满分9分设体系处于202111YCYC状态（已归一化），求：（1）zL的测量可能值及平均值；（2）2L的测量可能值及相应的概率。五本题满分9分氢原子处在基态0ar30ea1),,r（，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1n0axna!ndxex。六本题满分6分一个转动惯量为I的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转子，其能量的经典表示式为I2LH2，L为角动量。求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。已知角动量平方算符]sin1)(sinsin1[Lˆ22222。七本题满分8分在自旋态01)sz21（中，求xSˆ和ySˆ的不确定关系：?)S()S(2y2x已知算符Fˆ的不确定度为222FˆFˆ)Fˆ(，平均值FˆFˆ。八本题满分8分算符方程aAˆ称为算符Aˆ的本征方程，其中常数a称为算符Aˆ的本征值，函数称为算符Aˆ的本征函数。试确定下列函数哪些是算符22dxd的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？①2x，②xe，③xsin，④xcos3，⑤xcosxsin06级2学分B一、回答下列问题（每小题4分，共24分）1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？2试述电子具有自旋的实验证据。3考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、计算题（本题满分12分）氦原子的动能是kTE23，k是玻耳兹曼常数，求KT1时，氦原子的德布罗意波长。已知普朗克常数秒焦耳3410626.6h，玻耳兹曼常数1231038.1Kk焦耳，质子质量kg.mp2710671，氦原子的质量近似取为质子质量的四倍。三、计算题（本题满分12分）一粒子在一维无限深势阱axaxxxU,,0,0,0,)（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。四、计算题（本题满分12分）设氢原子处于状态),,()(23),()(21),,(11211021YrRYrRrnlm求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能量本征值为...3,2,1,132222024nneEn五、证明题（本题满分14分）利用厄米多项式的递推关系和求导公式：02211xnHxxHxHnnn，xnHxHnn12证明：一维谐振子波函数满足下列关系：)](21)(2[1)(11xnxnxxnnn/)],(21)(2[)(11mxnxndxxdnnn已知一维谐振子的波函数为：21212!2,22nNxHeNxnnnxnn六、证明题（本题满分12分）定义Pauli算符ˆ与自旋角动量算符Sˆ的关系为ˆ2ˆS，证明：izyxˆˆˆ七、证明题（本题满分14分）证明：)x3x2(e3)x(33x2122是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为22222212xdxdHˆ，参数。07级2学分A一、问答题（每空5分，共30分）1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象。2写出量子力学五个基本假设中任意三个。3表示力学量的厄米算符有哪些特性？4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(lmY是哪两个算符的共同本征函数？二本题满分10分一粒子在一维无限深势阱axaxxxU,,,,,)000（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。三本题满分7分设单粒子定态波函数为)()(ikrikrkbeerr1，试利用薛定谔方程确定其势场。四本题满分10分算符方程aAˆ称为算符Aˆ的本征方程，其中常数a称为算符Aˆ的本征值，函数称为算符Aˆ的本征函数。试确定下列函数哪些是算符22dxd的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？①2x，②xe，③xsin，④xcos3，⑤xcosxsin五本题满分10分氢原子处在基态0ar30ea1),,r（，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1n0axna!ndxex。六本题满分8分已知在2Lˆ和ZLˆ的共同表象中，算符xLˆ的矩阵为22xL010101010，求它的本征值和归一化本征函数。七本题满分15分已知氢原子的电子波函数为)(),()(),,,(/zznlmmsYrRsrs21113141)(),()(/zsYrR21203243。求在态中测量氢原子能量E、2L、zL、2s、zs的可能值和这些力学量的平均值。八本题满分10分在自旋态01)sz21（中，求xSˆ和ySˆ的不确定关系：?)S()S(2y2x已知算符Fˆ的不确定度为222FˆFˆ)Fˆ(，平均值FˆFˆ。07级2学分B一、问答题（每空5分，共30分）1那些实验现象揭示了光的波粒二象性？2写出角动量算符zLLˆ,ˆ2、哈密顿算符Hˆ、自旋算符zSSˆ,ˆ2的本征值。3什么是束缚态？什么是定态？4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？5试述电子具有自旋的实验证据。6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？二本题满分10分一维运动的粒子处于状态000xxAxexx,)(,之中,其中0,A为待求的归一化常数,求：(1)归一化常数;(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。三本题满分7分厄密算符Fˆ的本征方程为Fˆ，试根据厄密算符的定义式d)Fˆ(dFˆ**，证明厄密算符Fˆ的本征值是实数。四本题满分10分氢原子处在基态0ar30ea1),,r（，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能re2的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1n0axna!ndxex。五