扬子中学2015届高三综合练习三

1分数10080604020组距0.0050.0100.015频率（第5题图）2014届高三综合练习三（3.29）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．．1．若集合M=｛y|y=x3｝，P=｛y|y=33x｝，则M∩P=_________2．复数21i(1i)（i是虚数单位）的虚部为____3．“pq为真命题”是“p为假命题”成立的条件．4．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是_.5．如下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图，样本容量n＝300.若成绩在60分以上(含60分)为及格，则样本中本次考试及格人数是_________6．如图所示的流程图，最后输出的n的值是．7．已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是．8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝3x，则该双曲线的离心率的值是．9．设等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)．若S3，S9，S6成等差数列，则a8a2＋a5的值是．10．已知函数)1lg()(xxf，若ba,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．11．已知△ABC中，cba,,分别是角A，B，C的对边，2a，A=45°，B=60°，那么△ABC的面积ABCS.12.已知函数11()(0)14164xfxaxxxx恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.13．在三角形ABC中，已知9,sincossin,6ABCABACBACS，P为线段AB上的点，且||||CACBCPxyCACB，则xy的最大值为_．14．若实数,xy满足42xyxy，则x的取值范围是．二、解答题：15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，BA平面PAD，AP＝AD，DC//AB，DC＝2AB，E是棱PD的中点.（1）求证：AE//平面PBC；（2）求证：平面PBC平面PDC.结束开始P←0n←1P←P＋1n(n＋1)n←n＋1输出nYN（第6题）P＜0.70PEDCBA（第15题）216.设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知C＝π3，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．求PM＋PN的最大值．17.如图，我国南海黄岩岛海域A处的雷达观测站发现其北偏东45，与A相距220海里的B处有一国外测量船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45（其中51tan，450）且与观测站A相距135海里的C处.(1)求该船的行驶速度v（海里/小时）；(2)在离观测站A的正南方20海里的E处有一条我国海监局规定的禁行航道，如果该测量船不改变航向继续前行，该船是否进入禁行航道？试说明理由.18.已知函数2()ln,afxxaxR．（1）若函数()fx在[2,)上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx在[1,]e上的最小值为3，求实数a的值．19..（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．20.已知数列{an}成等比数列，且an＞０．（1）若a2－a1=8，a3=m．①当m=48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；（2）若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．（第16题）ABDCMNPα（第17题）3扬子中学2014届高三综合练习三附加题（3.29）21.B选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1121A，向量12，求向量，使得2A．21C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一弦AB=4p，以F为极点O，极轴与x轴正向重合建立极坐标系，求OA的极角.22．某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（1）若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设表示目标被击中的次数，求的分布列和数学期望()E；（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．23．设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．（1）求抛物线的方程；（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．2015届高三综合练习三41．｛y|y0｝；2．12；3．必要非充分；4．23；5．120；6．4；7．23π8．2或2339．12；10．错解：322答案：(6,)；11．33412.54aa或=-1。13．3试题分析：由9ABAC得cos9bcA;又sincossinCBA得cosbcA;又6ABCS得14．若实数,xy满足42xyxy，则x的取值范围是．答案：令,(0,0)yaxybab，此时22()xyxyab，等式可化为2242abab，从而,ab满足方程22(2)(1)5(,0)abab如图所示，在aOb平面内，点(,)ab的轨迹是以(1,2)为圆心，5为半径的圆在,0ab的部分，即点O与弧ACB的并集，因此22{0}[4,20]xab。二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定．．．．．区域内．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.证明（1）取PC中点F，连结BF，EF．因为点E、F分别为棱PD、PC的中点，所以EF//DC，且EF＝12DC．……………2分又AB//DC，且AB＝12DC，所以EF//AB，且EF＝AB．于是，四边形ABFE为平行四边形，故有AE//BF.……………4分又因为AE/平面PBC，BF平面PBC，所以AE//平面PBC.……………7分（2）在△PAD中，因为AP＝AD，且E为PD的中点，所以AE⊥PD.因为AB⊥平面PAD，DC//AB，所以DC⊥平面PAD．又AE平面PAD，所以DC⊥AE.…………………………9分所以，由AE⊥PD，DC⊥AE，PD∩DC＝D，PD、DC平面PCD，得到AE⊥平面PCD.又BF//AE，所以BF⊥平面PCD.…………………………12分又因为BF平面PBC，所以，平面PBC平面PDC.…………………………14分16.解（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，abOACB215即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝π2．………………2分又因为C＝π3，得A＋B＝2π3，与A＋B＝π2矛盾，所以A＝B，因此A＝π3．…………………4分（2）设∠PCA＝α，由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin(α＋π3)，α∈(0，2π3).………………6分所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin(α＋π3)＝3sinα＋3cosα＝23sin(α＋π6).………10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM＋PN取得最大值23．……………14分（1）17.18.【答案】（1）(,1]；（2）ae.试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其60°αPNMCDBA（第16题）（第17题）6（2）由（1）得22()xafxx，[1,]xe．①若21a，则20xa，即()0fx在[1,]e上恒成立，此时()fx在[1,]e上是增函数．所以min(1)23fxfa，解得32a（舍去）．②若12ae≤≤，令()0fx，得2xa．当12xa时，()0fx，所以()fx在(1,2)a上是减函数，当2axe时，()0fx，所以()fx在(2,)ae上是增函数．所以min2ln(2)13fxfaa，解得22ea（舍去）．③若2ae，则20xa，即()0fx在[1,]e上恒成立，此时()fx在[1,]e上是减函数．所以min213afxfee，所以ae．考点：函数与导数、函数的单调性.19..解（1）由题设可知a＝2，e＝ca＝32，所以c＝3，故b＝1．因此，a＝2，b＝1．…………………2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为x24＋y2＝1．设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．联立直线l与椭圆C的方程，即y＝x－mx24＋y2＝1．将y消去，化简得54x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝2(2m－1－m2)5，x2＝2(2m＋1－m2)5，从而有，x1＋x2＝8m5，x1·x2＝4(m2－1)5，而y1＝x1－m，y2＝x2－m，因此，∣AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2＝2(x1+x2)2－4x1·x2＝452·5－m2，点O到直线l的距离d＝∣m∣2，所以，S△OAB＝12×|AB|×d＝255－m2×|m|，7因此，S2△OAB＝425(5－m2)×m2≤425·(5－m2＋m22)2＝1．…………………6分又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5－m2＝m2，即m2＝52，m＝±102时，S△OAB取得最大值1．…………………8分(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).将直线l与椭圆C的方程联立，即y=k(x－m)x24＋y2＝1．将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，x1＋x2＝8mk21＋4k2，x1·x2＝4(k2m2－1)1＋4k2．…………………10分所以，PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝34(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2＝m2·(－8k4－6k2＋2)＋(1＋4k2)·(8k2＋8)(1＋4k2)2（*）.…………………14分因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±12．所以，k的值为±12.…………………16分20解：设公比为q，则由题意，得q＞0．（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得11218,48.aqaaq解之，得18(23)33;aq,或18(23)33.,aq所以数列{an}的通项公式为an＝8(2－3)(3＋3)n-1，或an＝8(2＋3)(3－3)n-1．…………5分②要使满足条件的数列{an}