扬州市2014—2015学年度高三第四次调研测试数学参考答案

数学参考答案第1页（共12页）扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学参考答案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}AB，则AB．{2，4}2．设复数z满足132izi，则z＝____________．13i3．命题“2,10xRx”的否定是．2,10xRx4．已知为第三象限角，且tan2，则sin2．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是．9106．已知向量(1,3)a，(2,1)b，(3,2)c.若向量c与向量kab共线，则实数k－17．锐角ABC△中角,,ABC的对边分别是,,abc，4,5ab,ABC△的面积为53,则c=．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．939．已知等比数列na的前n项和为nS，若2244aSaS，则12015SS等于．110．若函数()cosfxkx的图象过点(,1)3P，则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．23析：∵函数()cosfxkx的图象经过点(,1)3P，∴()cos1233fkk，∴xxfcos2)(，()2sinfxx，()2sin333kf．11．若直线30xym截半圆225yx所得的弦长为8，则m．31012．平面内四点,,,OABC满足4,25,5,0OAOBOCOBOC，则ABC面积的最大值为．1513．已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为F，离心率为32，过原点O且倾斜角为3的直线l与椭圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为813413，则椭圆方程为．2214xy析：由已知2ab，椭圆方程可化为：2224xya，将:3lyx代入得13||13Axa，由椭圆对称性，△AFB的周长=2||24||AaABax，可得2a．数学参考答案第2页（共12页）MDCBA14．已知函数||()()xxfxxRe，12()421()xxgxaaaaR，若{|(g())}RAxfxe，则a的取值范围是．[1,0]析：当0x时，1'()xxfxe，得()fx在0,1上是增函数，在1,上是减函数，当1x时有极大值1e；当0x时，1'()0xxfxe恒成立，()fx是减函数，且(1)fe．设()gxt，由()fte得1t，即()1gx对xR恒成立，22()(2)21xgxaaa，当0a时，2()21gxaa，而2211aa，不合题意；当0a时，2()(,1)gxaa，∴211aa，得10a．15．如图，三棱锥ABCD中，侧面ABC是等边三角形，M是ABC的中心．⑴若DMBC，求证ADBC；⑵若AD上存在点N，使//MN平面BCD，求ANND的值．证⑴连AM并延长交BC于E，连DE因为M是等边ABC的中心，所以E是BC的中点，AEBC……………2分又因为DMBC，AEDMM，,AEDM平面ADE，所以BC平面ADE，……………5分因为AD平面ADE，所以ADBC；……………7分⑵,MAEAE平面ADE，所以M平面ADE，因为AD上存在点N，所以N平面ADE，所以MN平面ADE，……………9分又//MN平面BCD，平面ADE平面BCDDE，所以//MNDE，……………12分在ADE中，因为12AMME，所以12ANND．……………14分数学参考答案第3页（共12页）16．ABC的内角,AB满足2cossin22ABABaij(单位向量,ij互相垂直)，且6||2a．⑴求tantanAB的值；⑵若2sin13A，边长2a，求边长c．解⑴因为2223||2cossin222ABABa，即1cos()31cos()22ABAB，……………3分所以coscossinsincoscossinsin02ABABABAB，化简整理，得13tantan022AB，故tantanAB=13.……………7分(2)由(1)可知,AB为锐角．因为2sin13A，所以2tan3A，1tan2B，tantan7tantan()1tantan4ABCABAB，7sin65C……………12分因为正弦定理sinsinacAC，所以2271365c，所以边长755c．……………14分17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和；⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解⑴2248000500(2.550.6)230052.5；……………4分⑵保护罩的底面边长为x米，底面积为S平方米，体积为V立方米，总费用为y元，则48000500(0.6)yVS=2248000500(20.6)xxx32480001000300xx，（1.2x）……9分52339600032'30003000xyxxx，令'0y得2x，当1.22x时'0y，y递减；当2x时'0y，y递增∴当2x时，y有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米．……………14分数学参考答案第4页（共12页）18．已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是AT的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T的直线与椭圆相交于,MN两点，,MN都在x轴上方，并且M在,NT之间，且2NFMF．①记,NFMNFA的面积分别为12,SS，求12SS；②若原点O到直线TMN的距离为204141，求椭圆方程．解⑴因为F是AT的中点，所以22aacc，即(2)()0acac，又a、0c，所以2ac，所以12cea；……………4分⑵①解法一：过,MN作直线l的垂线，垂足分别为11,MN，依题意，11NFMFeNNMM，又2NFMF，故112NNMM，故M是NT的中点，∴12MNFTNFSS又F是AT中点，∴ANFTNFSS，∴1212SS；……………8分解法二：∵2ac，∴3bc，椭圆方程为2222143xycc，(,0)Fc，(4,0)Tc设11(,)Mxy，22(,)Nxy，点M在椭圆2222143xycc上，即有22211334ycx，∴2222211113()()34MFxcyxccx22111111124|2|2422xcxcxccx数学参考答案第5页（共12页）同理2122NFcx，又2NFMF，故1224xxc得M是,NT的中点，∴12MNFTNFSS，又F是AT中点，∴ANFTNFSS，∴1212SS；……………8分②解法一：设(,0)Fc，则椭圆方程为2222143xycc，由①知M是,NT的中点，不妨设00(,)Mxy，则00(24,2)Nxcy，又,MN都在椭圆上，即有220022220022143(24)4143xyccxcycc即220022220022143(2)1434xyccxcycc两式相减得：220022(2)3444xxccc，解得074xc，……………10分可得0358yc，故直线MN的斜率为35587644ckcc，……………13分直线MN的方程为5(4)6yxc，即56450xyc原点O到直线TMN的距离为454553641cdc，依题意4520414141c，解得5c，故椭圆方程为2212015xy．……………16分数学参考答案第6页（共12页）解法二：设(,0)Fc，则椭圆方程为2222143xycc，由①知M是,NT的中点，故1224xxc，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)ykxc，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143xkxccc，整理得：222222(43)3264120kxckxkcc，（*）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，依题意：21222221223243641243ckxxkkccxxk由212212324324ckxxkxxc解得：2122221644316443ckcxkckcxk所以222222221641646412434343ckcckckcckkk，解之得：2536k，即56k．直线MN的方程为5(4)6yxc，即56450xyc原点O到直线TMN的距离为454553641ccd，依题意4520414141c，解得5c，故椭圆方程为2212015xy．……………16分数学参考答案第7页（共12页）19．设m个正数maaa,...,,21*4,mmN依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,kkaaaaa*(,)kmkN是公差为d的等差数列，而111,,,...,,mmkkaaaaa是公比为2的等比数列．⑴若12ad，8k，求数列maaa,...,,21的所有项的和mS；⑵若12ad，2015m，求m的最大值；⑶是否存在正整数k，满足1211213()kkkkmmaaaaaaaa？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16ka，故数列maaa,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m，84mS，……………4分⑵由数列1231,,,...,,kkaaaaa是首项为2、公差为2的等差数列知，2kak，而111,,,...,,mmkkaaaaa是首项为2、公比为2的等比数列知，22mkka，故有222mkk，12mkk，即k必是2的整数次幂，由122kmk知，要使m最大，k必须最大，又2015km，故k的最大值102，从而1010241222m，m的最大值是1033．……………9分⑶由数列1231,,,...,,kkaaaaa是公差为d的等差数列知，1(1)kaakd，而111,,,...,,mmkkaaaaa是公比为2的等比数列112mkkaa，故1(1)akd112mka，11(1)(21)mkkda又121113()kkkkmmaaaaaaaa，12maa则11112(1)32212mkkakkda，即11111[(21)]32(21)2mkmkkakaa，则11126(21)22mkmkkk，即1126212mkmkkk，显然6k，则112182166mkkkk所以6k，将12345k，，，，一一代入验证知，当4k时，上式右端为8，等式成立，此时6m，综上可得：当且仅当6m时，存在4k满足等式．……………16分数学参考答案第8页（共12页）20．设函数1()1fxx，()1xgxax(其中aR，e是自然对数的底数