庄益源中正大学财务金融学系

莊益源‧中正大學財務金融學系1布朗運動、伊藤引理與股價之動態行為分析1介紹本份講義探討股票價格的行為，以及如何運用數學的模型來描繪它的機率分配。股票的價格行為有幾個基本的特徵：第一，股價具有馬可夫的特性，也就是說投資人如果想要預測股價的下一期走勢，他(她)所需要的只是目前的股價資訊即可。因此股價未來的走勢預測是目前股價的函式，但與過去歷史價格無關。這個要求主要是配合(弱勢)效率市場的假設亦即，歷史價格的訊息已經充分的反應在當前的價格上。第二，股價下一期的預期增量(increment)必須與當前的股價有關。例如考慮$10股價與$100股價的兩支股票，$10的股票與$100元的股票下一期的漲跌幅很顯然是不一樣的。以漲跌幅5%為例，前者為$0.5，後者為$5；當前股價越高，以金錢為單位的漲跌幅越大。第三，股價下一期的預期增量(increment)雖然與當前的股價有關，但又有許多雜訊，很難預測。這表示如果我們假設增量來自於同一機率分配，則必須是獨立的。第四，股價下一期的預期報酬必須與當前的股價無關。譬如說，某公司的股票經股票分割之後，由$100變成$50元，由於還是同一家公司的股票，所以預期報酬應該也是相同的。即使是不同公司的股價，預期報酬也必須與股價無關，否則違反效率市場的假設。第五，假設股價的預期報酬來自於同一機率分配，則必須是獨立的，否則也與效率市場的假設相衝突。第六，股票的價格必須是為正，這給投資人總是帶來些許的希望。如果描述股價的模型允許股價有負數的機率存在，對投資人而言，在情感上是一種傷害。甚麼樣的模型可以用來描繪以上關於股價行為的基本特徵？答案是由布朗運動版權所有敬請尊重莊益源‧中正大學財務金融學系2(BrownianMotion)所延伸出來的幾何布朗運動(GeometricBrownianMotion,GBM)。布朗運動是一個連續的隨機過程(stochasticprocess)，此現象最早是由英國的植物學家布朗觀察到在水中或汽油中的分子呈現非常不規則的運動而發現的(發表於1828)。而最早有關於布朗運動的解釋是由愛因斯坦於1905提出。然而有關於布朗運動隨機過程方面的明確定義，是由美國的韋納於1918年起一系列的文章所陳述。布朗運動大部分的理論來自於韋納的供獻，因此布朗運動又通稱為韋納過程(WienerProcess)。1951日本學者伊藤氏根據布朗運動，進一步建立了許多連續時間的隨機過程，稱為伊藤過程(Itoprocesses)或是隨機微分方程(stochasticdifferentialequations)。與古典微積分所處理的平滑(smooth)函式所不一樣的地方，在於布朗運動的軌跡是非常不規則的，而這一套數學是以伊藤氏所推導的引理為基礎，通稱為隨機微積分或是伊藤微積分(Ito’scalculus)，財金界常常稱之為伊藤引理(Ito’sLemma)。10年後，其他的數學家才開始研究伊藤引理，隨機微積分受到了重視，開始應用在生物、統計、化學、物理、工程與財務金融上的領域。在財金的文獻上，法國的Bachelier在1900利用算數布朗運動(ArithmeticBrownianMotion,ABM)來研究選擇權的訂價模型。Samuelson在1960年代進一步將算數布朗運動以幾何布朗運動來取代，後續的學者的研究都是以此為股票或資產的隨機過程，將它用來做為描繪財金市場的不確定性，並且因為它是一個連續的隨機過程，適合應用在沒有跳躍的情況下。隨機微積分最早則是由Merton引進，應用於連續時間的模型上；接著BlackandScholes(1973)將伊藤引理應用在選擇權的訂價模型上，迄今，每一個財務工程與風險管理領域的學習者，都應該了解隨機微積分的基本原則，否則就與這個領域嚴重脫節。當然我們不須要是數學家，但是要了解股價的行為以及選擇權等衍生性商品的訂價理論，一些數學的技巧是必須要具備的。本份講義的目的，即是提供關於股價模型的基本知識。莊益源‧中正大學財務金融學系32布朗運動布朗運動的定義假設w(t)表示一個隨機過程，w(0)=0。如果w(t)是一個布朗運動，則必須符合以下三個性質：獨立的增量(independentincrements)：若st,w(t)w(s)是獨立的，並且，w(t)w(s)~(0,st)。穩定的增量(stationaryincrements)：若st，w(t)w(s)與w(ts)的機率分配是一樣的。連續性：w(t)在任何時間點t上是連續的。w(t)、w2(t)之性質我們將以不連續的隨機漫步的方式來介紹布朗運動。定義w(t)為一時段t之變量，即：w(t)=w(t+t)w(t)w(t)也稱為雜訊(whitenoise)或是布朗運動增量。因為w(t)是布朗運動，因此w(t)必須具備以下兩個特性：(1)w(t)~(0,t)(2)取任何兩個時段，它們的w是獨立的。w(t)、w(t)2在統計上有很特殊的性質。w(t)是常態分配，其變異數與t成正比，雖然w(t)是一個隨機項(stochasticterm)，但若我們取平方，則w(t)2可視為確定項(deterministicterm)。這似乎是一個謎，但卻是一個非常重要的性質雜訊的平方是可以預測的！莊益源‧中正大學財務金融學系4(1)w(t)之平均值、變異數與標準差：E[w(t)]=0Var[w(t)]=ts.d.ofw(t)=t解析以上的特性，來自於布朗運動的定義。#(2)w2(t)之平均值、變異數：E[w(t)2]=tVar[w(t)2]=0w(t)2=t解析因為Var[w(t)]=E[w(t)2]E2[w(t)]=tE[w(t)2]=tVar[w(t)2]=E[w(t)4]E2[w(t)2]=3t2t2=0由於標準常態分配的第4動差是3(即峰態)且t2=0。由於Var[w(t)2]=0，這表示w(t)2是一個確定項(deterministic)，有沒有加上期望值的符號都無所謂。#莊益源‧中正大學財務金融學系5例題：令t=0.001，則w(t)~(0,001.0)。我們可以模擬w(t)與w(t)2的過程：這裡我們看到雖然w(t)的變動很大，但是w(t)2幾乎是確定的，這是與一般的數學不一樣的地方。(3)w(t)t之平均值、變異數：E[w(t)t]=0Var[w(t)t]=0w(t)t=0解析E[w(t)t]=tE[w(t)]=0Var[w(t)t]=t2Var[w(t)]=0因此我們也可以將w(t)t視為確定項，可以把期望值的符號去掉。0200400600800100012001400160018002000-0.2-0.100.10.2w0200400600800100012001400160018002000-0.2-0.100.10.2w2莊益源‧中正大學財務金融學系6乘法規則由於布朗運動是連續的隨機過程，我們可以定義當t0時，dw(t)為雜訊連續時間的表示法：dw(t)dttim[w(t+t)w(t)]綜合以上的分析，我們可以整理出布朗運動的乘法規則：w(T)的分配為何?考慮一段時間並令N=tT，亦即，我們將T的時段細分為N個區間：0,t,2t,…,Nt。則：w(T)=w(0)+1N0i)ti(w=w(0)+w(t)+w(2t)+…+w((N1)t)所有的增量都是iid(0,t)因為增量都是獨立相同的常態分配，我們可以推測w(T)的性質：平均值：E[w(T)]=0變異數：Var[w(T)]=T標準差：Std[w(T)]=Twtwt0t00dwdtdwdt0dt00莊益源‧中正大學財務金融學系7例題：t=0.5;w(t+t)=w(t)+w(t)=w(t)+(0,t)時間w(T)增量~(0,5.0)0w(0.0)=0w(0.0)=0.49720.5w(0.5)=w(0.0)+w(0.0)=0.4972w(0.5)=0.74881.0w(1.0)=w(0.5)+w(0.5)=1.2460w(1.0)=0.50231.5w(1.5)=w(1.0)+w(1.0)=0.7437w(1.5)=0.16422.0w(2.0)=w(1.5)+w(1.5)=0.5795w(2.0)=0.21182.5w(2.5)=w(2.0)+w(2.0)=0.3677例題：下圖我們可看到，當t0時，布朗運動的軌跡是非常的不規則的，主要的原因是因為增量是獨立的。0640128019202560-1-0.500.51080160240320-1-0.500.51020406080-1-0.500.5105101520-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8莊益源‧中正大學財務金融學系8關於布朗運動軌跡的複雜程度，有數學家對它的路徑有以下的形容：「如果你(妳)在二維的空間裏，觀看一段的時間，它會寫出你(妳)的名字，再東看看西看看，你(妳)也可以看到其他人的名字，以及莎士比亞的作品，幾本小說，當然了，還有許多的塗鴉」。布朗運動w(t)是不可微的考慮一個連續的函式f(t)，則在一般的微積分裏，微分的定義為：t)t(f)tt(flimf0tt或表示成f(t+t)f(t)+ftt然而布朗運動的路徑並非是平滑的，在任何的時間點上卻是不可微的。我們簡單的說明如下：考慮布朗運動的微分：t)t(w)tt(w，則t)t(w~t1,0。當t0時，此常態分配會發散而不存在。解析因為w(t)為常態分配，所以w(t)/t也是常態分配。E[w(t)/t]=0，Var[w(t)/t]=t2Var[w(t)]=t2t=t1，故標準差為1/t。#既然布朗運動是不可微的，為甚麼在財金經濟的領域要研究應用它呢？一般的平滑函式，因為是可微的，我們只要知道ft(斜率)，就可以預測f的下一步f(t+t)。而布朗運動的軌跡非常的不規則，是不可微的，找不到斜率，也無法預測。因為布朗運動有這樣的特性，正好可以應用在股票的模型上。由於資產的價格可以寫成布朗運動的函式，這表示資產價格也有不可預測的成分在裏面，並且它的軌跡也是非常的不規則的。莊益源‧中正大學財務金融學系9布朗運動的條件機率分配若st,，則給定w(s)之下，w(t)~(w(s),st)。解析這來自於布朗運動的定義。從這個性質可以看出布朗運動的馬可夫性。布朗運動未來機率的分配僅僅與目前的值有關，而與過去的路徑軌跡無關。因此目前的值，就是未來的最佳預測值。#兩個布朗運過程考量慮兩個不確定因子的來源，可以由兩個布朗運動的過程來表示：-5051015-505-50510-8-6-4-202-50510-505101520-505-5051015莊益源‧中正大學財務金融學系10當然，一般而言，兩個不確定因子它們之間是有相關的，假設的相關係數為，則乘法的規則如下：dw1dw2dtdw1dtdt0dw2dtdt0dt000莊益源‧中正大學財務金融學系113伊藤過程與伊藤引理伊藤過程標準的布朗運動在應用上是有些限制的，它的延伸稱為伊藤過程，而伊藤過程通常以隨機微分方程(SDE)的形式來表示，一般的寫法如下：伊藤過程：dx=(x,t)dt+(x,t)dw其中(x,t)稱為漂移參數(driftcoefficient)，(x,t)稱為擴散參數(diffusioncoefficient)。以上的隨機微分方程式表示，隨著不可預測訊息的揭露，x下一瞬間增量為dx。這個增量來自於兩個部分。第一部分是確定項，第二部分是隨機項，由於這部份的增量來自於布朗運動增量，而我們知道布朗運動是不可微的，因此x的瞬間增量的方向基本上也是不可預測。例題：請問dx