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4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程222210EEct∂∇−∂G=G，其中2001cμε=，为常数。(1)0E0cos()xEeEtzcωω=−GG；(2)0sin()cos()xEeEztcωω=GG；(3)0cos()yEeEtzcωω=+GG。证：(1)222002cos()cos()xxEeEtzeEtzczcωωωω∂∇=∇−=−∂GGG20()cos()xeEtcczωωω=−−G2220022cos()cos()xxEeEtzeEtzttccωωωωω∂∂=−=−∂∂GGG−22220022211()cos()cos()0xxEEeEtzeEtzctccccωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−−−=⎢⎥∂⎣⎦GGGG即矢量函数0cos()xEeEtzcωω=−GG满足波动方程222210EEct∂∇−=∂GG。(2)222002sin()cos()sin()cos()xxEeEzteEztczcωωωω∂⎡⎤⎡⎤∇=∇=⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦GGG20()sin()cos()xeEzcctωωω=−G2220022sin()cos()sin()cos()xxEeEzteEztttccωωωωω∂∂⎡⎤⎡⎤==−⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦GGG22220022211()sin()cos()sin()cos()0xxEEeEzteEztctccccωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−=⎢⎥∂⎣⎦GGGG即矢量函数0sin()cos()xEeEztcωω=GG满足波动方程222210EEct∂∇−=∂GG。(3)222002cos()cos()yyEeEtzeEtzczcωωωω∂∇=∇+=+∂GGG20()cos()yeEtcczωωω=−+G2220022cos()cos()yyEeEtzeEtzttccωωωωω∂∂=+=−∂∂GGG+22220022211()cos()cos()0yyEEeEtzeEtzctccccωωωωωω∂⎡⎤∇−=−+−−+=⎢⎥∂⎣⎦GGGG即矢量函数0cos()yEeEtzcωω=+GG满足波动方程222210EEct∂∇−=∂GG。4.2在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度()ErGG的波动方程为22()()0ErErωμε∇+=GGGG已知矢量函数j0()ekrErE−⋅=GGGGG，其中0EG和kG是常矢量。试证明()ErGG满足波动方程的条件是22kωμε=，这里kk=G。证：在直角坐标系中xyzrexeyez=++GGGG设xxyyzkekekek=++GGGGz则()()xxyyzzxyzxyzkrekekekexeyezkxkykz⋅=++⋅++=++GGGGGGGG故j()j00()eexyzkxkykzkrErEE−++−⋅==GGGGGGj()22j200222j()0222j()22220()eee()exyzxyzxyzkxkykzkrkxkykzkxkykzxyzErEEExyzkkkEkEr−++−⋅−++−++∇=∇=∇⎛⎞∂∂∂=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠=−−−=−GGGGGGGGG()G代入方程，得22()()0ErErωμε∇+=GGGG220kEEωμε−+=GG故22kωμε=4.3已知无源的空气中的磁场强度为90.1sin(10π)cos(6π10)A/myHextkz=×GG−利用波动方程求常数k的值。解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程22002(,)(,)0HrtHrttμε∂∇−=∂GGGG而229229(,)[0.1sin(10π)cos(6π10)][(10π)]0.1sin(10π)cos(6π10)]yyHrtextkzekxt∇=∇×−=−−×−GkzGGG22922929(,)0.1sin(10π)cos(6π10)(6π10)0.1sin(10π)cos(6π10)]yyHrtextkzttex∂∂=×−∂∂=−××−GGGGtkz代入方程22002(,)(,)0HrtHrttμε∂∇−∂=GGGG，得{}2292900[(10π)](6π10)0.1sin(10π)cos(6π10)0yekxtkμε−−+××−=Gz于是有229200[(10π)](6π10)0kμε−−+×=故得92200(6π10)(10π)103πkμε=×−=4.4证明：矢量函数0cos()xEeEtxcωω=−GG满足真空中的无源波动方程222210EEct∂∇−=∂GG但不满足麦克斯韦方程。证：22220002(,)cos()cos()()cos()xxxErteEtxeEtxeEtxcxcccωωωωω∂∇=∇−=−=−−∂GGGGGωω22220022(,)cos()cos()xxErteEtxeEtxttccωωωωω∂∂=−=−∂∂GGGG−所以22220022211()cos()cos()0xxEEeEtxeEtxctccccωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−−−=⎢⎥∂⎣⎦GGGG即矢量函数0cos()xEeEtxcωω=−GG满足波动方程222210EEct∂∇−=∂GG。另一方面，00cos()sin()0EEtxEtxxcccωωωωω∂∇⋅=−=−≠∂G而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为EG0E∇⋅=G故矢量函数0cos()xEeEtxcωω=−GG不满足麦克斯韦方程组。以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。4.5证明：在有电荷密度ρ和电流密度JG的均匀无损耗媒质中，电场强度EG和磁场强度的波动方程为HG222()EJEttρμεμε∂∂∇−=+∇∂∂GGG，222HHJtμε∂∇−=−∇∂×GGG证：在有电荷密度ρ和电流密度JG的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为EHJtε∂∇×=+∂GGG(1)HEtμ∂∇×=−∂GG(2)0H∇⋅=G(3)Eρε∇⋅=G(4)对式(1)两边取旋度，得()HJtεE∂∇×∇×=∇×+∇×∂GGG而2()HH∇×∇×=∇∇⋅−∇HGGG故2()(HHJtε)E∂∇∇⋅−∇=∇×+∇×∂GGGG(5)将式(2)和式(3)代入式(5)，得222HHJtμε∂∇−=−∇×∂GGG这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。HG同样，对式(2)两边取旋度，得()EHtμ∂∇×∇×=−∇×∂GG即2()(EEHtμ)∂∇∇⋅−∇=−∇×∂GGG将式(1)和式(4)代入式(6)，得2221EJEttμεμε∂∂∇−=+∇∂∂ρGGG此即满足的波动方程。EG4.6在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用库仑条件0A∇⋅=G，导出AG和ϕ所满足的微分方程。解：将电磁矢量位AG的关系式BA=∇×GG和电磁标量位ϕ的关系式AEtϕ∂=−∇−∂GG代入麦克斯韦第一方程EHJtε∂∇×=+∂GGG得1()AAJttεϕμ⎛⎞∂∂∇×∇×=+−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GGG利用矢量恒等式2()AA∇×∇×=∇∇⋅−∇AGGG得2()AAAJttμμεϕ⎛⎞∂∂∇∇⋅−∇=+−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GGGG(1)又由Dρ∇⋅=G得Atρϕε⎛⎞∂∇⋅−∇−=⎜⎟∂⎝⎠G即2()Atρϕε∂∇+∇⋅=−∂G(2)按库仑条件，令0A∇⋅=G，将其代入式(1)和式(2)，得222AAJttϕμεμμε∂∂⎛∇−=−+∇⎜⎞⎟∂∂⎝⎠GGG(3)2ρϕε∇=−(4)式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数AG和ϕ所满足的微分方程。4.7证明在无源空间（0ρ=、0J=G）中，可以引入矢量位mAG和标量位mϕ，定义为mDA=−∇×GG，mmAHtϕ∂=−∇−∂GG并推导和mAGmϕ的微分方程。证：无源空间的麦克斯韦方程组为DHJt∂∇×=+∂GGG(1)BEt∂∇×=−∂GG(2)0B∇⋅=G(3)0D∇⋅=G(4)根据矢量恒等式0A∇⋅∇×=G和式(4)，知DG可表示为一个矢量的旋度，故令mDA=−∇×GG(5)将式(5)代入式(1)，得m()HAt∂∇×=−∇×∂GG即m0AHt⎛⎞∂∇×+=⎜⎟∂⎝⎠GG(6)根据矢量恒等式0ϕ∇×∇=和式(6)，知mAHt∂+∂GG可表示为一个标量函数的梯度，故令mmAHtϕ∂+=−∇∂GG即mmAHtϕ∂=−∇−∂GG(7)将式(5)和式(7)代入式(2)，得mmm1AAttμϕε⎛⎞∂∂−∇×∇×=−−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GG(8)而2mm()mAAA∇×∇×=∇∇⋅−∇GGG故式(8)变为22mmm2()AAAttϕμεμε∂∂⎛⎞∇∇⋅−∇=−∇−⎜⎟m∂∂⎝⎠GGG(9)又将式(7)代入式(3)，得mm0Atϕ⎛⎞∂∇⋅−∇−=⎜⎟∂⎝⎠G即2mm()Atϕ0∂∇+∇⋅=∂G(10)令mmAtϕμε∂∇⋅=−∂G将它代入式(9)和式(10)，即得mAG和mϕ的微分方程22mm20AAtμε∂∇−=∂GG22mm20tϕϕμε∂∇−=∂4.8给定标量位xctϕ=−及矢量位(xx)Aect=−GG，式中001cμε=。(1)试证明：00Atϕμε∂∇⋅=−∂G；(2)、HGBG、EG和DG；(3)证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。解：(1)001()xAxAtxxccμε∂∂∇⋅==−==∂∂G001()xctcttϕμε∂∂=−=−=−∂∂故000000001()tϕμεμεμμε∂−=−−=∂ε则00Atϕμε∂∇⋅=−∂G(2)0xzyzAABAeezy∂∂=∇×=−=∂∂GGGG00BHμ==GG而()xxAxEeetxtcϕϕ∂∂∂=−∇−=−−−∂∂∂GGtGG()xxexctex∂=−−+=∂GG000DEε==GG(3)这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。4.9自由空间中的电磁场为(,)1000cos()V/m(,)2.65cos()A/mxyEztetkzHztetkzωω=−=−GGGG式中000.42rad/mkωεμ==。求：(1)瞬时坡印廷矢量；(2)平均坡印廷矢量；(3)任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1m、横截面积为）中的净功率。20.25m图题4.9解：(1)瞬时坡印廷矢量222650cos()W/mzSEHetkzω=×=−GGGG(2)平均坡印廷矢量2π/22av02650cos()d1325W/m2πzzSetkzteωωω=−=∫GGG(3)任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为n0122d()26500.25[cos()cos(0.42)]270.2sin(20.42)WzzSzzPSeSSeSetttωωω==⎡⎤=−⋅=−⋅−+⋅×⎣⎦=×−−=−−∫GGGGGGv0.254.10已知某电磁场的复矢量为000000()jsin()V/m()cos()A/mxyEzeEkzHzeEkzεμ==GGGG式中002kcπωλ==，c为真空中的光速，0λ是波长。求：(1)0z=、08λ、04λ各点处的瞬时坡印廷矢量；(2)以上各点处的平均坡印廷矢量。解：(1)和的瞬时矢量为EGHGj0000(,)Rejsin()esin()sin()V/mtxxEzteEkzeEkztωω⎡⎤==−⎣⎦GGGj00000000(,)Recos()ecos()cos()A/mtyyHzteEkzeEkztωεεωμμ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦GGG则瞬时坡印廷矢量为002000022000(,)(,)(,)sin()cos()sin()cos()sin(2)sin(2)W/m4zzSztEztHzteEkzkzttEekztεωωμεωμ=×=−=−GGGGG故2(0,)0W/mSt=G022000(/8,)sin(2)W/m4zEStetελωμ=−GG20(/4,)0W/mStλ=G(2)*2av1()Re[()()]0W/m2SzEzHz=×=GGG4.11在横截面积为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为ab×j0j00πjsin()eV/mπππjsin()cos()eAπzyzxzaxEeHaaxxHeHeHaaββωμβ−−=−⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦/mGGGGG式中、0Hω、μ和β都是实常数。求：(1)瞬时坡