广州市2016届高三上学期五校联考(理数)

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1广州市2016届高三上学期五校联考数学(理科)本试卷共4页,24小题(其中22,23,24是选作题),满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.参考公式:①锥体的体积公式13VSh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.②方差2222121[()()()]nsxxxxxxn,其中x为样本12,,,nxxx的平均数.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A,{1,}Bm.若ABB,则实数m的值是().A.0B.2C.0或2D.0或1或22.在复平面内,复数22i对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示,给出下列5个图形:其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是().A.5个B.4个C.3个D.2个4.已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10,点)1,2(P在C的一条渐近线上,则C的方程为().A.152022yxB.120522yxC.1208022yxD.1802022yx5.已知函数2()2fxxxm,在区间2,4上随机取一个实数x,若事件“0fx”发生的概率为23,则m的值为().A.2B.2C.3D.326.已知实数,xy满足约束条件00220yxyxy,则11yzx的取值范围是().A.11,3B.11,23C.1,2D.1,127.函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示,则,的值分别是().A.2,3B.2,6C.4,6D.4,38.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是59,则().A.4aB.5aC.6aD.7a9.已知数列na的首项12a,数列nb为等比数列,且1nnnaba,若10112bb,则21a().A.92B.102C.112D.12210.设点,,ABC为球O的球面上三点,O为球心.球O的表面积为100,且ABC是边长为43的正三角形,则三棱锥OABC的体积为().A.12B.123C.243D.36311.已知RtAOB的面积为1,O为直角顶点,设向量||OAaOA,||OBbOB,2OPab,则PAPB的最大值为().A.1B.2C.3D.412.定义在R上的函数()fx满足:()1()fxfx,(0)6f,()fx是()fx的导函数,则不等式()5xxefxe(其中e为自然对数的底数)的解集为().A.0,B.,03,UC.,01,UD.3,二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若26()baxx的展开式中3x项的系数为20,则ba22loglog.开始S=1,k=1ka?S=S+1k(k+1)k=k+1输出S结束是否314.函数4cossin16fxxx(xR)的最大值为.15.已知函数222,0()2,0xxxfxxxx,若2(3)(2)fafa,则实数a的取值范围是.16.在ABC中,1)sin(AC,31sinB,则Asin.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列na的前n项和为nS,且364aa,55S.(1)求数列na的通项公式;(2)若123nnTaaaa,求5T的值和nT的表达式.18.(本小题满分12分)2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值.即2.5PM日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米——75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区今年9月每天的2.5PM监测数据中,按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本,其监测值如下茎叶图所示.(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天2.5PM的平均值和方差;(2)从所抽样的6天中任意抽取三天,记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数,求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABCABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,1AA平面ABC,点E是AB的中点,CE∥平面1ABD.(1)求证:点D是1CC的中点;(2)若BDDA1时,求平面1ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.茎叶26306445060A1C1B1DCBAE420.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222byaxC)0(ba的右焦点)0,1(F,且经过点)453,21(P.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C相切,过F作lFQ,垂足为Q,求证:OQ为定值(其中O为坐标原点).21.(本小题满分12分)已知函数()lnxafxx,其中a为实数.(1)当2a时,求曲线()yfx在点))2(,2(f处的切线方程;(2)是否存在实数a,使得对任意(0,1)1,x,()fxx恒成立?若不存在,请说明理由,若存在,求出a的值并加以证明.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲[Z§xx§k.Com]如图所示,AC为⊙O的直径,D为圆弧BC的中点,E为弦BC的中点.(1)求证://DEAB;(2)求证:2ACBCADCD.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,已知曲线2=cos=sin1:xCy(为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线22:cos()42C,曲线3:2sinC.(l)求曲线1C与2C的交点M的直角坐标;(2)设点AB,分别为曲线2C,3C上的动点,求AB的最小值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知48fxaxax,aR.(1)当2a时,解不等式2fx;(2)若fxk恒成立,求k的取值范围.[科网ZXXK]5数学(理科)参考答案一.CDBADDAACBAA二.13.0;14.2;15.13,;16.3317.解:(1)27nan,)(Nn.…5分;(2)27072nnan,即:3n所以:当3n时,270nan,当4n时,270nan………6分nnSn62,93S,55S所以:5T1234535353()()213aaaaaSSSSS………8分3n时,nnTS26nn;4n时,2333()2618nnnTSSSSSnn.即226,3,618,4,nnnnTnnn)(Nn.………12分18.解:(1)263036445060416x22222221[(2641)(3041)(3641)(4441)(5041)(6041)]1376s………4分根据样本估计今年9月份该市区每天2.5PM的平均值为:41微克/立方米,方差为137。………5分[网](2)从茎叶图知,所抽样的6天中有2天空气质量为一级,有4天空气质量为二级,则可能取的值为1,2,3,其中,1242361(1)5CCPC,2142363(2)5CCPC,3042361(3)5CCPC…10分所以的分布列为131()1232555E,的数学期望为2。………12分19.证明:(1)取11BA的中点F,连结1FC,EF,设GBAEF1………1分由作图过程易得:四边形1CEFC为平行四边形,1//AAEG6在BAA1中,点E是AB的中点,点G是BA1的中点,112121CCAAEG………3分又CE∥平面1ABD.CE平面1EFCC,且平面1EFCC平面1ABDDGCEDG//,又CDEG//四边形CEGD为平行四边形,121CCEGCD点D是1CC的中点。………6分(2)由(1)知1//AAEF,又1AA平面ABCEF平面ABC又ABC是边长为2的等边三角形,点E是AB的中点,ABCE且3CE如图建立空间直角坐标系xyzE,设hEF2,………7分则)0,0,1(B,)0,3,0(C,)2,0,0(hF,)2,0,1(1hA,),3,0(hD),3,1(1hDA,(1,3,)BDh,由1ADBD可知:10ADBD2h………8分由z轴平面ABC可得:平面ABC的一个法向量(0,0,1)m………9分设平面1ABD的一个法向量为(,,)nxyz,由100BAnBDn得:2220320xzxyz令2x,则(2,0,1)n,………10分3cos,3mnmnmn,………11分所以,平面1ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值为33………12分20.解:(1)由题意可设椭圆C的左焦点为)0,1(F,则半焦距1c………1分由椭圆定义可知:24aPFPF所以2a,3222cab,所以椭圆C的方程为13422yx………4分(2)①当直线l的斜率不存在时,l的方程为:2x,)0,2(Q或)0,2(Q,此时2OQ;FGA1C1B1DCBAEzxy7②当直线l的斜率为0时,l的方程为:3y,)3,1(Q或)3,1(Q,此时2OQ;…5分③当直线l的斜率存在且不为0时,设为k,其方程可设为mkxy(0k)lFQ,直线FQ的方程可设为:)1(1xky由124322yxmkxy消去y可得:01248)43(222mkmxxk………6分直线l与椭圆C相切,0)124)(43(4)8(222mkkm整理得:3422km(*)………7分由)1(1xkymkxy,解得)1,11(22kmkkkmQ………9分所以OQ2222222222)1(1)1()11(kmkmkkmkkkm将(*)式代入:OQ2)1()12(42224kkk综上所述:2OQ,OQ为定值.……12分21.解:⑴2a时,xxxfln2)(,xxxxxxf2ln2ln)(,………1分2ln1)2(f,又0)2(f,所以切线方程为)2(2ln1xy.………4分⑵①当10x时,0lnx,则xxaxlnxxxaln令xxxxgln)(,xxxxg2ln22)(,………6分再令xxxhln22)(,0111)(xxxxxh当10x时0)(xh,∴)(xh在)1,0(上递减,∴当10x时,0)1()(hxh,∴02)()(xxhxg,所以)(xg在)1,0(上递增,1)1()(gxg,所以1a…8分8②1x时,0lnx,则xxaxlnxxxaln
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